容斥原理是公務(wù)員考試中較難的一類(lèi)題目，其實(shí)本質(zhì)上就是高中時(shí)期所學(xué)的集合問(wèn)題，�？嫉氖嵌虾腿�，現(xiàn)就三集合問(wèn)題的解題思路進(jìn)行梳理。一般的解題思路有兩種：
1、公式法，適用于“條件與問(wèn)題”都可直接代入公式的題目;
2、文氏圖法，即當(dāng)條件與問(wèn)題不能直接代入公式時(shí)，需要利用該方法解決。
一般而言，能夠直接代入公式的題目較容易，而需要利用文氏圖的題目相對(duì)靈活，容易給考生解題帶來(lái)不便。如果大家能夠?qū)街械母鱾�(gè)要素以及文氏圖上的各個(gè)部分所代表的含義有深入了解，則可以快速抓住解題關(guān)鍵。
【例題】某班有35個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少參加英語(yǔ)小組、語(yǔ)文小組、數(shù)學(xué)小組中的-個(gè)課外活動(dòng)小組�，F(xiàn)已知參加英語(yǔ)小組的有17人。參加語(yǔ)文小組的有30人，參加數(shù)學(xué)小組的有13人。如果有5個(gè)學(xué)生三個(gè)小組全參加了，問(wèn)有多少個(gè)學(xué)生只參加了一個(gè)小組?
A.15 B.16 C.17 D.18
對(duì)于這個(gè)題目，一般思路為：將題目條件帶入三集合文氏圖，假設(shè)只參加兩個(gè)小組的人數(shù)分別為x，y，z人，由加減關(guān)系可以得到只參加一個(gè)小組的人數(shù)的表示形式，根據(jù)總?cè)藬?shù)可以列出方程：
(13-5-x-y)+(17-5-x-y)+(30-5-x-y)+x+y+z+5=35，
從而得到x+y+z=15，即為所求。
該方法是利用文氏圖和列方程的方法進(jìn)行解題，方法簡(jiǎn)單易懂，但是實(shí)際操作起來(lái)消耗時(shí)間較多，下文將給出本題的另外兩種解法：
【解法1】文氏圖與三集合標(biāo)準(zhǔn)型公式相結(jié)合。
三集合標(biāo)準(zhǔn)型的公式如下：AUBUC=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC。
將語(yǔ)文小組的人數(shù)視為A，數(shù)學(xué)小組人數(shù)視為B，英語(yǔ)小組人數(shù)視為C，分別代入公式可以得到AB+AC+BC=30�！癆B+AC+BC”中包含三個(gè)ABC，因此要減去兩個(gè)，即AB+AC+BC-2ABC=20，即為至少選兩個(gè)小組的人數(shù)，因此，得到只參加一個(gè)小組的人數(shù)=總?cè)藬?shù)(AUBUC=35)減去至少選兩個(gè)小組的人數(shù)(AB+AC+BC-2ABC=20)，等于15。
該方法將文氏圖與三集合標(biāo)準(zhǔn)型公式結(jié)合使用，避免了求解不必要要素的過(guò)程，這需要各位考生對(duì)于基本公式和文氏圖各部分的意義有深刻理解。對(duì)于這道題目而言，還有更加快速的解題方法，如下：
【解法2】通過(guò)讀題，我們可以發(fā)現(xiàn)，英語(yǔ)小組、語(yǔ)文小組、數(shù)學(xué)小組在題目中都是同時(shí)出現(xiàn)，即這三個(gè)小組是并列關(guān)系，對(duì)于這三個(gè)小組的人數(shù)，即17、30、13三個(gè)數(shù)字只能用加法處理，等于60。這樣原題五個(gè)數(shù)字(35、17、30、13、5)就變?yōu)槿齻�(gè)(35、60、5)，而這三個(gè)數(shù)字之間只能做加減，而不能做乘除，因此，得到結(jié)果的尾數(shù)必為“0”或“5”。
在得到這個(gè)結(jié)論之后，我們觀(guān)察一下選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)只有A選項(xiàng)尾數(shù)為5，因此，本題答案確定無(wú)疑，就是A。本題成功實(shí)現(xiàn)“秒殺”。
關(guān)于容斥原理的考試題目千變?nèi)f化，但是無(wú)論怎樣變化都離不開(kāi)基本公式和文氏圖，考生在平時(shí)練習(xí)的時(shí)候一定要熟練掌握這兩種方法，從而提高做題速度與正確率，并爭(zhēng)取針對(duì)個(gè)性化的題目產(chǎn)生巧妙的方法。
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