2014年公務員行測備考：數(shù)量關系容斥原理問題

　　容斥原理是公務員考試中較難的一類題目，其實本質上就是高中時期所學的集合問題，常考的是二集合和三集合，現(xiàn)就三集合問題的解題思路進行梳理。一般的解題思路有兩種：

　　1、公式法，適用于“條件與問題”都可直接代入公式的題目;

　　2、文氏圖法，即當條件與問題不能直接代入公式時，需要利用該方法解決。

　　一般而言，能夠直接代入公式的題目較容易，而需要利用文氏圖的題目相對靈活，容易給考生解題帶來不便。如果大家能夠對公式中的各個要素以及文氏圖上的各個部分所代表的含義有深入了解，則可以快速抓住解題關鍵。

　　【例題】某班有35個學生，每個學生至少參加英語小組、語文小組、數(shù)學小組中的-個課外活動小組。現(xiàn)已知參加英語小組的有17人。參加語文小組的有30人，參加數(shù)學小組的有13人。如果有5個學生三個小組全參加了，問有多少個學生只參加了一個小組?

　　A.15 B.16 C.17 D.18

　　對于這個題目，一般思路為：將題目條件帶入三集合文氏圖，假設只參加兩個小組的人數(shù)分別為x，y，z人，由加減關系可以得到只參加一個小組的人數(shù)的表示形式，根據(jù)總人數(shù)可以列出方程：

　　(13-5-x-y)+(17-5-x-y)+(30-5-x-y)+x+y+z+5=35，

　　從而得到x+y+z=15，即為所求。

　　該方法是利用文氏圖和列方程的方法進行解題，方法簡單易懂，但是實際操作起來消耗時間較多，下文將給出本題的另外兩種解法：

　　【解法1】文氏圖與三集合標準型公式相結合。

　　三集合標準型的公式如下：AUBUC=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC。

　　將語文小組的人數(shù)視為A，數(shù)學小組人數(shù)視為B，英語小組人數(shù)視為C，分別代入公式可以得到AB+AC+BC=30�！癆B+AC+BC”中包含三個ABC，因此要減去兩個，即AB+AC+BC-2ABC=20，即為至少選兩個小組的人數(shù)，因此，得到只參加一個小組的人數(shù)=總人數(shù)(AUBUC=35)減去至少選兩個小組的人數(shù)(AB+AC+BC-2ABC=20)，等于15。

　　該方法將文氏圖與三集合標準型公式結合使用，避免了求解不必要要素的過程，這需要各位考生對于基本公式和文氏圖各部分的意義有深刻理解。對于這道題目而言，還有更加快速的解題方法，如下：

　　【解法2】通過讀題，我們可以發(fā)現(xiàn)，英語小組、語文小組、數(shù)學小組在題目中都是同時出現(xiàn)，即這三個小組是并列關系，對于這三個小組的人數(shù)，即17、30、13三個數(shù)字只能用加法處理，等于60。這樣原題五個數(shù)字(35、17、30、13、5)就變?yōu)槿齻�(35、60、5)，而這三個數(shù)字之間只能做加減，而不能做乘除，因此，得到結果的尾數(shù)必為“0”或“5”。

　　在得到這個結論之后，我們觀察一下選項，發(fā)現(xiàn)只有A選項尾數(shù)為5，因此，本題答案確定無疑，就是A。本題成功實現(xiàn)“秒殺”。

　　關于容斥原理的考試題目千變萬化，但是無論怎樣變化都離不開基本公式和文氏圖，考生在平時練習的時候一定要熟練掌握這兩種方法，從而提高做題速度與正確率，并爭取針對個性化的題目產(chǎn)生巧妙的方法。

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