行程問題是每年公務(wù)員考試行測(cè)數(shù)量關(guān)系專項(xiàng)中的必考題型，許多考生在復(fù)習(xí)行程問題時(shí)投入了大量精力，然而一些考生投入精力雖大，效果卻不甚理想。究其原因，主要在于近年來公務(wù)員考試中行程問題的考察方式靈活多變，導(dǎo)致一些考生復(fù)習(xí)時(shí)無法抓住重點(diǎn)，往往是撿了芝麻丟了西瓜。多次相遇問題是行程問題中比較重要且復(fù)雜的題型，如何能在考場上快速解答這類問題，并得到正確答案呢?在這里，與廣大考生共同探討一下快速解答此類問題的方法：畫圖法。
由于此類問題的相遇過程復(fù)雜，難以用公式進(jìn)行深入直觀的分析，如能巧妙地引入畫圖法，就能達(dá)到化繁為簡、化抽象為形象的效果。
真題一：A大學(xué)的小李和B大學(xué)的小孫分別從自己學(xué)校同時(shí)出發(fā)，不斷往返于A、B兩校之間。現(xiàn)已知小李的速度為85米/分鐘，小孫的速度為105米/分鐘，且經(jīng)過12分鐘后兩人第二次相遇。問A、B兩校相距多少米?( )
A.1140米 B.980米 C.840米 D.760米
解析：答案選D。這是一道二次相遇問題，相遇過程如圖所示。設(shè)小李與小孫第一次相遇地點(diǎn)為C，第二次相遇地點(diǎn)為D。則小李與小孫第一次相遇時(shí)，兩人走過的路程和為AC+BC=AB(如圖紅線所示)。小李與小孫從第一次相遇開始至第二次相遇為止，兩人走過的路程和為BC+BD+AC+AD=2AB(如圖藍(lán)線所示)。因此，小李和小孫兩人從開始出發(fā)至第二次相遇時(shí)所走的路程為3AB=12×(85+105)，得AB=760。
在軍事檢閱的時(shí)候，會(huì)要求解放軍排著整齊的方隊(duì)接受檢閱，必須按一定的規(guī)則排成一定的隊(duì)形，于是公務(wù)員考試行測(cè)中就產(chǎn)生了這樣一類數(shù)學(xué)問題：方陣問題，就同大家一起來研究和分析這類問題。
一、方陣問題特征
例1.三年級(jí)一班參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場式，排成一個(gè)方陣，最外層一周的人數(shù)為20人，問方陣最外層每邊的人數(shù)是多少?這個(gè)方陣共有多少人?
例2.有楊樹和柳樹以隔株相間的種法，種成7行7列的方陣，問這個(gè)方陣最外一層有楊樹和柳樹各多少棵?方陣中共有楊樹，柳樹各多少棵?
以上兩道例題就是方陣問題，那方陣問題要怎樣來解決呢?這就需要大家先對(duì)方陣問題進(jìn)行研究，看看方陣問題到底是什么?
觀察上面兩個(gè)題目我們可以看到方陣問題的考察主要有這樣幾個(gè)方面：
(1)給出了方陣的外圍人數(shù)，求方陣共有多少人?
(2)給出了方陣的總數(shù)量，求最外層的數(shù)量?
那這兩個(gè)問題要怎么樣解決呢?在解決這個(gè)問題之前，我們先來看下它有什么樣的特點(diǎn)，假設(shè)這里有一個(gè)n×n方隊(duì):
從圖中可以看到：
(1)方陣不論哪一層，每邊上的人數(shù)量都相同，每向里一層，每邊上的人數(shù)就少2;
(2)每邊人數(shù)和四周人的關(guān)系
方陣的四周每邊都有4人，但是每邊頭尾的兩個(gè)人是可以繼續(xù)計(jì)算在相鄰邊的人數(shù)中的。如果每邊人數(shù)乘以4的話，會(huì)多出4個(gè)人，如果每邊人數(shù)正好少算一個(gè)的話，乘以4就是真正的四周的總?cè)藬?shù)了。
所以四周人數(shù)=(每邊人數(shù)-1)×4
相應(yīng)的：每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1
(3) 方陣的總?cè)藬?shù)如何計(jì)算
對(duì)于方陣總?cè)藬?shù)的計(jì)算，要分成實(shí)心方陣和空心方陣兩種情況：
若是實(shí)心方陣，每行的人數(shù)都是相等的，為n，一共有n列，所以總?cè)藬?shù)就是n×n，即實(shí)心方陣的總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)×每邊人數(shù);
若是空心方陣的話，要想直接計(jì)算就比較困難�？梢园凑者@樣的思路考慮：空心方陣是這樣構(gòu)成的，即整個(gè)實(shí)心的大方陣減去中間的部分，而中間空白的部分其實(shí)還是實(shí)心方陣。所以只要分別計(jì)算這兩個(gè)實(shí)心方陣，再相減就可以了。
空心方陣的總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)²-空心方陣的層數(shù)²
二、方陣問題解法
我們?cè)诹私饬朔疥嚨奶卣髦�，就來看一下具體的方陣問題怎樣求解。
先來看第一種，給出了方陣的外圍人數(shù)，求解方陣共有多少人?
例1.三年級(jí)一班參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場式，排成一個(gè)方陣，最外層一周的人數(shù)為20人，問方陣最外層每邊的人數(shù)是多少?這個(gè)方陣共有多少人?
分析：根據(jù)四周人數(shù)與每邊人數(shù)的關(guān)系可知:
每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1，可以求出這個(gè)方陣最外層每邊的人數(shù)，那么這個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求出來了。
解：(1)方陣最外層每邊的人數(shù)：20÷4+1=5+1=6(人)
(2)整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)：6×6=36(人)
答：方陣最外層每邊的人數(shù)是6人，這個(gè)方陣共有36人。
再來看第二種，給出了方陣的總數(shù)量，求最外層的數(shù)量。
例2.有楊樹和柳樹以隔株相間的種法，種成7行7列的方陣，問這個(gè)方陣最外一層有楊樹和柳樹各多少棵?方陣中共有楊樹，柳樹各多少棵?
分析：首先，第一問，問方陣最外層的楊樹和柳樹的數(shù)量是多少。我們就先計(jì)算最外層一共有多少棵樹。
由題目易知：最外層數(shù)量=(7—1)×4=24棵，又因?yàn)闂顦浜土鴺涫情g隔種植的，所以楊樹和柳樹各有12棵。
第二問：方陣中共有楊樹和柳樹多少棵，由于我們的樹苗每行和每列都是奇數(shù)，所以先種楊樹還是先種柳樹對(duì)最后的數(shù)量是有影響的，我們要分情況討論：
由于每行種植的樹苗的數(shù)量為7棵，又是間隔種植的，所以種植的數(shù)量就是楊樹和柳樹一個(gè)種3棵，另一個(gè)種4棵。
假設(shè)第一種情況：第一行楊樹4棵，柳樹3棵，則第二行正好是相反的，楊樹3棵，柳樹4棵，以后依次類推。
共7行，所以計(jì)算楊樹有4+3+4+3+4+3+4=25棵，柳樹有3+4+3+4+3+4+3=24棵。
假設(shè)第二種情況：第一行楊樹3棵，柳樹4棵，和第一種情況正好是相反的。
計(jì)算可得楊樹有24棵，柳樹有25棵。
希望考生通過以上講解能夠?qū)獯鸱疥噯栴}有深入了解，其實(shí)行測(cè)問題并不難，只要大家懂得舉一反三，就不會(huì)把自己淹沒在題海戰(zhàn)術(shù)當(dāng)中了，同時(shí)也希望大家能夠注意總結(jié)，從埋頭苦學(xué)變?yōu)榛顚W(xué)活用，只有這樣才能在行測(cè)備考中一馬當(dāng)先。
真題二：小李、小王各自在路上往返于甲、乙兩地勻速跑步，即到達(dá)一地便立即折回另一地跑步，設(shè)開始時(shí)他們分別從兩地同時(shí)相向出發(fā)，若在距離甲地300米后他們第一次相遇，第二次相遇的地點(diǎn)在距乙地200米處，則甲、乙兩地的距離可能為( )米?
A.900米 B.600米 C.800米 D.700米
解析：答案選D。由上題可知，兩人從開始出發(fā)到第一次相遇時(shí)所走路程和為AB，從第一次相遇到第二次相遇時(shí)所走路程和為2AB，可得從第一次相遇到第二次相遇時(shí)兩人所走路程和是從開始出發(fā)到第一次相遇時(shí)所走路程和的2倍。由于兩人速度均不變，易知從第一次相遇到第二次相遇時(shí)兩人所用時(shí)間是從開始出發(fā)到第一次相遇時(shí)所用時(shí)間的2倍。
如圖所示，由于小李速度不變，可知小李從第一次相遇開始到第二次相遇為止所走路程(CB+BD)是小李從出發(fā)開始到第一次相遇為止所走路程(AC)的2倍。即CB+BD=2AC，由題可知，AC=300，DB=200，可得CB=400。因此甲乙兩地距離AB=AC+BC=700。
近年來多次相遇問題的出現(xiàn)頻率逐漸升高，而且考察方式也在不斷變化。但無論何種考察方式，只要掌握了行程問題的基本公式，并且能用線段圖清晰地展示出兩人的行程，那么多次相遇問題就可以迎刃而解了。
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