一、何為排列組合
在傳授“招數(shù)”之前，先回顧一下排列與組合的基本概念以及在具體題目中如何快速識(shí)別。比如，4個(gè)人中挑選2個(gè)人相互握手，先選甲、再選乙或者先選乙、再選甲;這兩種不同的選擇順序，最終都是甲乙2人互相握手，所以，順序?qū)Y(jié)果不造成影響，則叫組合，記為C42 ;反之，若4個(gè)人中挑選2個(gè)人，一個(gè)當(dāng)班長(zhǎng)，一個(gè)當(dāng)offcn學(xué)委，那么先選甲、再選乙或者先選乙、再選甲;這兩種不同的選擇順序會(huì)帶來(lái)兩種不同的結(jié)果：甲當(dāng)班長(zhǎng)、乙當(dāng)學(xué)委或者乙當(dāng)班長(zhǎng)、甲當(dāng)學(xué)委。所以，順序?qū)Y(jié)果造成影響，則叫排列，記為A42。
二、解答排列組合六招數(shù)
招數(shù)一：優(yōu)先法
優(yōu)先法，即對(duì)有特殊要求的元素優(yōu)先進(jìn)行考慮。
例題1：a、b、c、d、e、f 6個(gè)人排隊(duì)，問(wèn)a、b既不在排頭也不在排尾的方式有幾種?
解析：a、b是具有特殊要求的元素，優(yōu)先進(jìn)行考慮，一頭一尾不能選，只有中間4個(gè)位置，于是有A42 。剩下的c、d、e、f 4個(gè)人，4個(gè)位置全排列，A44 。所以，總的排列方式是A42·A44 。
招數(shù)二：捆綁法
捆綁法，即將相鄰元素捆綁在一起作為一個(gè)整體和其它元素進(jìn)行排列與組合。
例題2：計(jì)劃展出10幅不同的畫(huà)，其中1幅水彩畫(huà)、4幅油畫(huà)、5幅國(guó)畫(huà)，排成一行陳列，要求同品種的必須連在一起，那么共有多少陳列方式的種數(shù)?
解析：把4幅油畫(huà)必須相鄰看成一個(gè)整體、5幅國(guó)畫(huà)必須相鄰看成一個(gè)整體，則加上水彩畫(huà)一共有3個(gè)整體，所以排列方式是A33 。
招數(shù)三：插空法
插空法，即先考慮其它元素，再將不相鄰的元素插入他們的間隙。
例題3：某論壇邀請(qǐng)了6位嘉賓，安排其中三人進(jìn)行單獨(dú)演講，另三人參加圓桌對(duì)話(huà)節(jié)目。如每位嘉賓都可以參加演講或圓桌對(duì)話(huà)，演講順序分先后且圓桌對(duì)話(huà)必須安排在任意兩場(chǎng)演講之間，問(wèn)一共有多少種不同的安排方式?
解析：圓桌對(duì)話(huà)必須不相鄰，因此要先考慮演講，6個(gè)人中選3個(gè)人演講，分先后順序則有A63 ，剩下的3人只能圓桌對(duì)話(huà)且不能安排在首位，則只有2個(gè)空可以插,則有A22 ，所以總的排列方式有A63· A22 。
招數(shù)四：隔板法
隔板法，適用同素分堆且問(wèn)法為“至少一個(gè)”的題型。何為同素分堆呢?即相同的元素分成若干堆，如6個(gè)相同的蘋(píng)果分給3個(gè)不同的小朋友，問(wèn)有幾種分法。將6個(gè)蘋(píng)果中間的5個(gè)空插2塊隔板，即可分成3堆，如：○/○○○/○○，則有C52。
例題4：把20臺(tái)相同的電腦分給8個(gè)部門(mén)，每個(gè)部門(mén)至少2臺(tái)，問(wèn)共有幾種分法?
解析：先每個(gè)部門(mén)分別發(fā)1臺(tái)，還剩12臺(tái)，剩下的隔板，C117 。
招數(shù)五：錯(cuò)位重排
錯(cuò)位重排，即鴿子回籠。如1只鴿子1個(gè)籠，它飛出去，再飛回來(lái)，回錯(cuò)籠的種數(shù)為0;2只鴿子2個(gè)籠，它飛出去，再飛回來(lái)，回錯(cuò)籠的種數(shù)為1;3只鴿子3個(gè)籠，它飛出去，再飛回來(lái)，回錯(cuò)籠的種數(shù)為2;4只鴿子4個(gè)籠，它飛出去，再飛回來(lái)，回錯(cuò)籠的種數(shù)為9;以此類(lèi)推，5只鴿子5個(gè)籠，它飛出去，再飛回來(lái)，回錯(cuò)籠的種數(shù)為44。
所以，需要記住以下結(jié)論：
N 1 2 3 4 5
D(n) 0 1 2 9 44
例題5：新年到了，某單位5個(gè)人寫(xiě)5張賀卡互相贈(zèng)送，要求5個(gè)人都收到賀卡，且不能收到自己寫(xiě)的賀卡，問(wèn)收賀卡的方式有多少種?
解析：直接利用結(jié)論，5對(duì)應(yīng)44種。
招數(shù)六：環(huán)形排列
環(huán)形排列，即圓桌入座，比如5個(gè)人(a、b、c、d、e)圍著一張桌子入座，問(wèn)有多少種入座方式?正常情況，直線(xiàn)排列5個(gè)人則是A55。那么環(huán)形排列有什么不同呢?在環(huán)形中，若所有的元素順時(shí)針移動(dòng)相同的格數(shù)，對(duì)應(yīng)的順序不改變，則算同1種。所以不管怎么移動(dòng)，一定能找到元素a，則不用考慮a，只需要考慮其它4個(gè)元素即可，即總共有A44種。
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