在數(shù)學(xué)運算中,有些基礎(chǔ)知識是做題的前置條件,沒有這些基礎(chǔ)知識作為鋪墊,那么解數(shù)學(xué)題就只能說是無根之木,無源之水,解數(shù)學(xué)題的過程就是痛苦的過程,我們把這些稱作數(shù)論基礎(chǔ),它包括奇偶數(shù)、質(zhì)合數(shù)、最小公倍數(shù)、最大公約數(shù)等,今天帶著大家回顧下我們學(xué)過的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的有關(guān)知識。
一、定義
最大公約數(shù):如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除,則稱a為b的倍數(shù),b為a的約數(shù)。幾個自然數(shù)公有的約數(shù),叫做這幾個自然數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的一個公約數(shù),稱為這幾個自然數(shù)的最大公約數(shù)。
最小公倍數(shù):如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除,則稱a為b的倍數(shù),b為a的約數(shù)。幾個自然數(shù)公有的倍數(shù),叫做這幾個自然數(shù)的公倍數(shù).公倍數(shù)中最小的一個大于零的公倍數(shù),叫這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。
例題1:甲每5天進(jìn)城一次,乙每9天進(jìn)城一次,丙每12天進(jìn)城一次,某天三人在城里相遇,那么下次相遇至少要:
A.60天 B.180天 C.540天 D.1620天
解析:下次相遇要多少天,也即求5,9,12的最小公倍數(shù),可用代入法,也可直接求。顯然5,9,12的最小公倍數(shù)為5×3×3×4=180。
所以,答案為B。
例題2:三位采購員定期去某商店,小王每隔9天去一次,大劉每隔11天去一次,老楊每隔7天去一次,三人星期二第一次在商店相會,下次相會是星期幾?
A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四
解析:此題乍看上去是求9,11,7的最小公倍數(shù)的問題,但這里有一個關(guān)鍵詞,即“每隔”,“每隔9天”也即“每10天”,所以此題實際上是求10,12,8的最小公倍數(shù)。10,12,8的最小公倍數(shù)為5×2×2×3×2=120。120÷7=17余1,
所以,下一次相會則是在星期三,選擇C。
二、重要性質(zhì)
兩個數(shù)的乘積等于兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積。
例題3:兩個自然數(shù)不成倍數(shù)關(guān)系,他們的最大公約數(shù)為18,最小公倍數(shù)為216,求這兩個數(shù)分別為多少?
解:設(shè)兩個數(shù)為18a和18b,運用性質(zhì)18a×18b=216×18,得出ab=12,又兩個自然數(shù)不成倍數(shù)關(guān)系,因此a與b只能從3和4中選擇,所以一個為54,一個為72。