(二)年金終值和年金現(xiàn)值
年金包括普通年金(后付年金)、預(yù)付年金(先付年金)、遞延年金、永續(xù)年金等形式。
普通年金是年金的最基本形式，普通年金和預(yù)付年金都是從第-期開始發(fā)生等額收付，區(qū)別是前者等額收付發(fā)生在期末，后者等額收付發(fā)生在期初。遞延年金和永續(xù)年金是派生出來的年金。遞延年金等額收付從第二期期末或第二期期末以后才發(fā)生，而永續(xù)年金的等額收付期有無窮多個(gè)。
【提示】
(1)年金中收付的間隔時(shí)間不-定是1年，也可以是半年、1個(gè)月等。
(2)年金中收付的起始時(shí)間可以是任何時(shí)點(diǎn)，不-定是年初或年末。
【例題2·判斷題】普通年金是指從第-期起，在-定時(shí)期內(nèi)每期期初等額收付的系列款項(xiàng)。普通年金有時(shí)也簡稱年金。( )
【答案】x
【解析】普通年金又稱后付年金，是指從第-期起，在-定時(shí)期內(nèi)每期期末等額收付的系列款項(xiàng)。普通年金有時(shí)也簡稱年金。
【例題3·單選題】2011年1月1日，A公司租用-層寫字樓作為辦公場所，租賃期限為3年，每年1月1日支付租金20萬元，共支付3年。該租金支付形式屬于( )。
A.普通年金
B.預(yù)付年金
C.遞延年金
D.永續(xù)年金
【答案】B
【解析】年初等額支付，屬于預(yù)付年金。
1.普通年金終值和現(xiàn)值
(1)普通年金終值(已知期末等額收付的年金A，求年金終值FA)
普通年金終值是指普通年金在最后-次收付時(shí)的本利和，它是每期期末等額收付款項(xiàng)A的復(fù)利終值之和。
(2)普通年金現(xiàn)值(已知期末等額收付的年金A，求年金現(xiàn)值PA)
普通年金現(xiàn)值等于每期期末等額收付款項(xiàng)A的復(fù)利現(xiàn)值之和。
【提示】普通年金現(xiàn)值和普通年金終值的表達(dá)式中的“n”指的是等額收付的次數(shù)，即A的個(gè)數(shù)。與單利、復(fù)利的終值和現(xiàn)值公式中“n”的含義不同。
【例題4·單選題】某公司從本年度起每年年末存入銀行-筆固定金額的款項(xiàng)，若按復(fù)利用最簡便算法計(jì)算第n年末可以從銀行取出的本利和，則應(yīng)選用的時(shí)間價(jià)值系數(shù)是( )。
A.復(fù)利終值條數(shù)
B.復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)
C.普通年金終值系數(shù)
D.普通年金現(xiàn)值系數(shù)
【答案】C
【解析】因?yàn)楸绢}中是每年年末存入銀行-筆固定金額的款項(xiàng)，所以符合普通年金的形式，因此計(jì)算第n年末可以從銀行取出的本利和，實(shí)際上就是計(jì)算普通年金的終值，所以，正確的選項(xiàng)是C。
【例題5·判斷題】某人于2013年2月15日與開發(fā)商簽訂了-份購房合同，首付款比例為30%，其余70%的房款需要通過銀行貸款解決。貸款資金是2013年4月10日到位的，期限為10年，從2013年5月10日開始還款，每次還款4000元，每月還款-次，假設(shè)貸款月利率為1%，已知(P/A，1%，120)=69.70，(F/A，1%，120)=230.04。則2013年4月10的貸款額為92.016萬元。( )
【答案】×
【解析】本題屬于普通年金現(xiàn)值計(jì)算問題，由于共計(jì)還款120次，所以，n=120，2013年4月10日的貸款額=4000×(P/A，1%，120)=4000×69.70=278800(元)=27.88(萬元)。
【提示】套用普通年金的終值公式計(jì)算得出的數(shù)值是最后-期期末的數(shù)值，即最后-次收付時(shí)點(diǎn)的數(shù)值;套用普通年金的現(xiàn)值公式計(jì)算得出的數(shù)值是第-期期初的數(shù)值，即第-次收付所在期的期初數(shù)值。了解這-點(diǎn)非常重要，計(jì)算預(yù)付年金及遞延年金的終值和現(xiàn)值將會(huì)用到這些重要的結(jié)論。
2.預(yù)付年金終值和現(xiàn)值【★2013年單選題】
(1)預(yù)付年金終值(已知每期期初等額收付的年金A，求FA)
預(yù)付年金的終值是指把預(yù)付年金每個(gè)等額A都換算成第n期期末的數(shù)值，再求和。求預(yù)付年金的終值有兩種方法：
方法-：先將其看成普通年金。套用普通年金終值的計(jì)算公式，計(jì)算出在最后-個(gè)A位置上即第(n-1)期期末的數(shù)值，再將其往后調(diào)整-年，得出要求的第n期期末的終值。即：FA=A×(F/A，i，n)×(1+i)=普通年金終值×(1+i)
方法二：先把預(yù)付年金轉(zhuǎn)換成普通年金。轉(zhuǎn)換的方法是，求終值時(shí)，假設(shè)最后-期期末有-個(gè)等額的收付，這樣就轉(zhuǎn)換為普通年金的終值問題，先計(jì)算期數(shù)為(n+1)期的普通年金的終值，再把多算的終值位置上的這個(gè)等額的收付A減掉，就得出預(yù)付年金終值。預(yù)付年金的終值系數(shù)和普通年金終值系數(shù)相比，期數(shù)加1，而系數(shù)減1。
預(yù)付年金終值=年金額×預(yù)付年金終值系數(shù)(在普通年金終值系數(shù)基礎(chǔ)上期數(shù)加1，系數(shù)減1)
FA=A×[(F/A，i，n+1)-1]
(2)預(yù)付年金現(xiàn)值(已知每期期初等額收付的年金A，求PA)
求預(yù)付年金的現(xiàn)值也有兩種方法：
方法-：先將其看成普通年金。套用普通年金現(xiàn)值的計(jì)算公式，計(jì)算出第-個(gè)A前-期位置上，即第0期前-期的數(shù)值，再將其往后調(diào)整-期，得出要求的0時(shí)點(diǎn)(第1期期初)的數(shù)值。即：PA=A×(P/A，i，n)×(1+i)=普通年金現(xiàn)值×(1+i)
方法二：先把預(yù)付年金轉(zhuǎn)換成普通年金，轉(zhuǎn)換的方法是，求現(xiàn)值時(shí)，假設(shè)0時(shí)點(diǎn)(第1期期初)沒有等額的收付，這樣就轉(zhuǎn)化為普通年金的現(xiàn)值問題，先計(jì)算期數(shù)為(n-1)期的普通年金的現(xiàn)值，再把原來未算的第1期期初位置上的這個(gè)等額的收付A加上，就得出預(yù)付年金現(xiàn)值，預(yù)付年金的現(xiàn)值系數(shù)和普通年金現(xiàn)值系數(shù)相比，期數(shù)減1，而系數(shù)加1。
預(yù)付年金現(xiàn)值=年金額×預(yù)付年金現(xiàn)值系數(shù)(在普通年金現(xiàn)值系數(shù)基礎(chǔ)上期數(shù)減1，系數(shù)加1)
PA=A×[(P/A，i，n-1)+1]
【例題6·單選題】已知(F/A，10%，9)=13.579，(F/A，10%，11)=18.531。則期限是10年、利率是10%的預(yù)付年金終值系數(shù)為( )。
A.17.531
B.19.531
C.14.579
D.12.579
【答案】A
【解析】預(yù)付年金終值系數(shù)等于普通年金終值系數(shù)期數(shù)加1、系數(shù)減1，所以10年、利率10%的預(yù)付年金終值系數(shù)=(F/A，10%，11)-1=18.531—1=17.531。
【提示】預(yù)付年金現(xiàn)值和終值計(jì)算公式中的“n”指的是等額收付的次數(shù)，即A的個(gè)數(shù)。
3.遞延年金終值和現(xiàn)值
(1)遞延年金終值(已知從第二期或第二期以后等額收付的普通年金A，求FA)
遞延年金是指第-次等額收付發(fā)生在第二期或第二期以后的普通年金。圖示如下：
求遞延年金的終值與求普通年金的終值沒有差別(要注意期數(shù))，遞延年金終值與遞延期無關(guān)。
如上圖中，遞延年金的終值為：FA=AX(F/A，i，n)，其中，“n，，表示的是A的個(gè)數(shù)，與遞延期無關(guān)。
(2)遞延年金現(xiàn)值(已知從第二期或第二期以后等額收付的普通年金A，求PA)
方法-：把遞延期以后的年金套用普通年金公式求現(xiàn)值，這時(shí)求出的現(xiàn)值是第-次等額收付前-期的數(shù)值，再往前推遞延期期數(shù)就得出遞延年金的現(xiàn)值。圖示如下：
PA=AX(P/A，i，n)×(P/F，i，m)
方法二：把遞延期每期期末都當(dāng)作有等額的收付，把遞延期和以后各期看成是-個(gè)普通年金，計(jì)算這個(gè)普通年金的現(xiàn)值，再把遞延期多算的年金現(xiàn)值減去即可。圖示如下：
PA=AX(P/A，i，m+n)-A×(P/A，i，m)
【提示】方法-、方法二求遞延年金現(xiàn)值的思路是把遞延年金的現(xiàn)值問題轉(zhuǎn)換為普通年金的現(xiàn)值問題，再求遞延年金現(xiàn)值。
方法三：先求遞延年金的終值，再將終值換算成現(xiàn)值，圖示如下：
PA=A×(F/A，i，n)×(P/F，i，m+n)
【提示】遞延年金現(xiàn)值計(jì)算公式中的“n”指的是等額收付的次數(shù)，即A的個(gè)數(shù);遞延期“m”的含義是，把普通年金(第-次等額收付發(fā)生在第1期期末)遞延m期之后，就變成了遞延年金(第-次等額收付發(fā)生在第W期期末，W>1)。因此，可以按照下面的簡便方法確定遞延期m的數(shù)值：
(1)確定該遞延年金的第-次收付發(fā)生在第幾期末(假設(shè)為第W期末)(此時(shí)應(yīng)該注意“下-期的期初相當(dāng)于上-期的期末”);
(2)根據(jù)(W-1)的數(shù)值確定遞延期m的數(shù)值。
【例題7·單選題】下列關(guān)于遞延年金的說法中，錯(cuò)誤的是( )。
A.遞延年金是指隔若干期以后才開始發(fā)生的系列等額收付款項(xiàng)
B.遞延年金沒有終值
C.遞延年金現(xiàn)值的大小與遞延期有關(guān)，遞延期越長，現(xiàn)值越小
D.遞延年金終值與遞延期無關(guān)
【答案】B
【解析】遞延年金是指隔若干期以后才開始發(fā)生的系列等額收付款項(xiàng);遞延年金存在終值，其終值的計(jì)算與普通年金是相同的;終值的大小與遞延期無關(guān);但是遞延年金的現(xiàn)值與遞延期是有關(guān)的，遞延期越長，遞延年金的現(xiàn)值越小，所以選項(xiàng)B的說法是錯(cuò)誤的。
【例題8·計(jì)算題】張先生準(zhǔn)備購買-套新房，開發(fā)商提供了三種付款方案讓張先生選擇：
(1)A方案，從第4年年末開始支付，每年年末支付20萬元，-共支付8年;
(2)B方案，按揭買房，每年年初支付15萬元，-共支付10年;
(3)C方案，從第4年年初開始支付，每年年末支付19萬元，-共支付8年。
假設(shè)銀行利率為5%，請問張先生應(yīng)該選擇哪種方案。
【答案】
A方案是遞延年金的形式，由于第-次支付發(fā)生在第4年年末，所以，W=4，遞延期m=4—1=3。
A方案付款的現(xiàn)值=20×(P/A，5%，8)×(P/F，5%，3)=20×6.4632×0.8638=111.66(萬元)
B方案是預(yù)付年金的方式，由于-共支付10次，所以，n=10。
B方案付款的現(xiàn)值=15×[(P/A，5%，10—1)+1]=15×(7.1078+1)=121.62(萬元)
C方案是遞延年金形式，由于第-次支付發(fā)生在第4年年初(相當(dāng)于第3年年末)，所以，W=3，遞延期m=3-1=2。
C方案付款的現(xiàn)值=19×(P/A，5%，8)×(P/F，5%，2)=19×6.4632×0.9070=111.38(萬元)
由于C方案付款的現(xiàn)值最小，所以張先生應(yīng)該選擇C方案。
4.永續(xù)年金終值和現(xiàn)值
(1)永續(xù)年金終值
永續(xù)年金沒有到期日，因此沒有終值。
(2)永續(xù)年金現(xiàn)值(已知無限期等額收付的普通年金A，求PA)
永續(xù)年金的現(xiàn)值是普通年金現(xiàn)值的極限形式(n→∞)：PA=A/i
【例題9·判斷題】王先生打算在某高校建立-項(xiàng)永久性獎(jiǎng)學(xué)金，款項(xiàng)-次性存入銀行，-年后開始提款，每年提款-次，每次提款2萬元用于獎(jiǎng)勵(lì)學(xué)生，假設(shè)銀行存款年利率為4%，那么王先生應(yīng)該存入銀行50萬元。( )
【答案】√
【解析】由于是永久性獎(jiǎng)學(xué)金，并且每次發(fā)放的數(shù)額相同，所以，這是永續(xù)年金現(xiàn)值計(jì)算問題。王先生應(yīng)該-次性存入銀行的款項(xiàng)=2/4%=50(萬元)。
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