(二)年金終值和年金現(xiàn)值

　　年金包括普通年金(后付年金)、預(yù)付年金(先付年金)、遞延年金、永續(xù)年金等形式。

　　普通年金是年金的最基本形式，普通年金和預(yù)付年金都是從第-期開始發(fā)生等額收付，區(qū)別是前者等額收付發(fā)生在期末，后者等額收付發(fā)生在期初。遞延年金和永續(xù)年金是派生出來的年金。遞延年金等額收付從第二期期末或第二期期末以后才發(fā)生，而永續(xù)年金的等額收付期有無窮多個。

　　【提示】

　　(1)年金中收付的間隔時間不-定是1年，也可以是半年、1個月等。

　　(2)年金中收付的起始時間可以是任何時點(diǎn)，不-定是年初或年末。

　　【例題2·判斷題】普通年金是指從第-期起，在-定時期內(nèi)每期期初等額收付的系列款項。普通年金有時也簡稱年金。(　　)

　　【答案】x

　　【解析】普通年金又稱后付年金，是指從第-期起，在-定時期內(nèi)每期期末等額收付的系列款項。普通年金有時也簡稱年金。

　　【例題3·單選題】2011年1月1日，A公司租用-層寫字樓作為辦公場所，租賃期限為3年，每年1月1日支付租金20萬元，共支付3年。該租金支付形式屬于(　　)。

　　A.普通年金

　　B.預(yù)付年金

　　C.遞延年金

　　D.永續(xù)年金

　　【答案】B

　　【解析】年初等額支付，屬于預(yù)付年金。

　　1.普通年金終值和現(xiàn)值

　　(1)普通年金終值(已知期末等額收付的年金A，求年金終值FA)

　　普通年金終值是指普通年金在最后-次收付時的本利和，它是每期期末等額收付款項A的復(fù)利終值之和。

　　(2)普通年金現(xiàn)值(已知期末等額收付的年金A，求年金現(xiàn)值PA)

　　普通年金現(xiàn)值等于每期期末等額收付款項A的復(fù)利現(xiàn)值之和。

　　【提示】普通年金現(xiàn)值和普通年金終值的表達(dá)式中的“n”指的是等額收付的次數(shù)，即A的個數(shù)。與單利、復(fù)利的終值和現(xiàn)值公式中“n”的含義不同。

　　【例題4·單選題】某公司從本年度起每年年末存入銀行-筆固定金額的款項，若按復(fù)利用最簡便算法計算第n年末可以從銀行取出的本利和，則應(yīng)選用的時間價值系數(shù)是(　　)。

　　A.復(fù)利終值條數(shù)

　　B.復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)

　　C.普通年金終值系數(shù)

　　D.普通年金現(xiàn)值系數(shù)

　　【答案】C

　　【解析】因為本題中是每年年末存入銀行-筆固定金額的款項，所以符合普通年金的形式，因此計算第n年末可以從銀行取出的本利和，實(shí)際上就是計算普通年金的終值，所以，正確的選項是C。

　　【例題5·判斷題】某人于2013年2月15日與開發(fā)商簽訂了-份購房合同，首付款比例為30%，其余70%的房款需要通過銀行貸款解決。貸款資金是2013年4月10日到位的，期限為10年，從2013年5月10日開始還款，每次還款4000元，每月還款-次，假設(shè)貸款月利率為1%，已知(P/A，1%，120)=69.70，(F/A，1%，120)=230.04。則2013年4月10的貸款額為92.016萬元。(　　)

　　【答案】×

　　【解析】本題屬于普通年金現(xiàn)值計算問題，由于共計還款120次，所以，n=120，2013年4月10日的貸款額=4000×(P/A，1%，120)=4000×69.70=278800(元)=27.88(萬元)。

　　【提示】套用普通年金的終值公式計算得出的數(shù)值是最后-期期末的數(shù)值，即最后-次收付時點(diǎn)的數(shù)值;套用普通年金的現(xiàn)值公式計算得出的數(shù)值是第-期期初的數(shù)值，即第-次收付所在期的期初數(shù)值。了解這-點(diǎn)非常重要，計算預(yù)付年金及遞延年金的終值和現(xiàn)值將會用到這些重要的結(jié)論。

　　2.預(yù)付年金終值和現(xiàn)值【★2013年單選題】

　　(1)預(yù)付年金終值(已知每期期初等額收付的年金A，求FA)

　　預(yù)付年金的終值是指把預(yù)付年金每個等額A都換算成第n期期末的數(shù)值，再求和。求預(yù)付年金的終值有兩種方法：

　　方法-：先將其看成普通年金。套用普通年金終值的計算公式，計算出在最后-個A位置上即第(n-1)期期末的數(shù)值，再將其往后調(diào)整-年，得出要求的第n期期末的終值。即：FA=A×(F/A，i，n)×(1+i)=普通年金終值×(1+i)

　　方法二：先把預(yù)付年金轉(zhuǎn)換成普通年金。轉(zhuǎn)換的方法是，求終值時，假設(shè)最后-期期末有-個等額的收付，這樣就轉(zhuǎn)換為普通年金的終值問題，先計算期數(shù)為(n+1)期的普通年金的終值，再把多算的終值位置上的這個等額的收付A減掉，就得出預(yù)付年金終值。預(yù)付年金的終值系數(shù)和普通年金終值系數(shù)相比，期數(shù)加1，而系數(shù)減1。

　　預(yù)付年金終值=年金額×預(yù)付年金終值系數(shù)(在普通年金終值系數(shù)基礎(chǔ)上期數(shù)加1，系數(shù)減1)

　　FA=A×[(F/A，i，n+1)-1]

　　(2)預(yù)付年金現(xiàn)值(已知每期期初等額收付的年金A，求PA)

　　求預(yù)付年金的現(xiàn)值也有兩種方法：

　　方法-：先將其看成普通年金。套用普通年金現(xiàn)值的計算公式，計算出第-個A前-期位置上，即第0期前-期的數(shù)值，再將其往后調(diào)整-期，得出要求的0時點(diǎn)(第1期期初)的數(shù)值。即：PA=A×(P/A，i，n)×(1+i)=普通年金現(xiàn)值×(1+i)

　　方法二：先把預(yù)付年金轉(zhuǎn)換成普通年金，轉(zhuǎn)換的方法是，求現(xiàn)值時，假設(shè)0時點(diǎn)(第1期期初)沒有等額的收付，這樣就轉(zhuǎn)化為普通年金的現(xiàn)值問題，先計算期數(shù)為(n-1)期的普通年金的現(xiàn)值，再把原來未算的第1期期初位置上的這個等額的收付A加上，就得出預(yù)付年金現(xiàn)值，預(yù)付年金的現(xiàn)值系數(shù)和普通年金現(xiàn)值系數(shù)相比，期數(shù)減1，而系數(shù)加1。

　　預(yù)付年金現(xiàn)值=年金額×預(yù)付年金現(xiàn)值系數(shù)(在普通年金現(xiàn)值系數(shù)基礎(chǔ)上期數(shù)減1，系數(shù)加1)

　　PA=A×[(P/A，i，n-1)+1]

　　【例題6·單選題】已知(F/A，10%，9)=13.579，(F/A，10%，11)=18.531。則期限是10年、利率是10%的預(yù)付年金終值系數(shù)為(　　)。

　　A.17.531

　　B.19.531

　　C.14.579

　　D.12.579

　　【答案】A

　　【解析】預(yù)付年金終值系數(shù)等于普通年金終值系數(shù)期數(shù)加1、系數(shù)減1，所以10年、利率10%的預(yù)付年金終值系數(shù)=(F/A，10%，11)-1=18.531—1=17.531。

　　【提示】預(yù)付年金現(xiàn)值和終值計算公式中的“n”指的是等額收付的次數(shù)，即A的個數(shù)。

　　3.遞延年金終值和現(xiàn)值

　　(1)遞延年金終值(已知從第二期或第二期以后等額收付的普通年金A，求FA)

　　遞延年金是指第-次等額收付發(fā)生在第二期或第二期以后的普通年金。圖示如下：

　　求遞延年金的終值與求普通年金的終值沒有差別(要注意期數(shù))，遞延年金終值與遞延期無關(guān)。

　　如上圖中，遞延年金的終值為：FA=AX(F/A，i，n)，其中，“n，，表示的是A的個數(shù)，與遞延期無關(guān)。

　　(2)遞延年金現(xiàn)值(已知從第二期或第二期以后等額收付的普通年金A，求PA)

　　方法-：把遞延期以后的年金套用普通年金公式求現(xiàn)值，這時求出的現(xiàn)值是第-次等額收付前-期的數(shù)值，再往前推遞延期期數(shù)就得出遞延年金的現(xiàn)值。圖示如下：

　　PA=AX(P/A，i，n)×(P/F，i，m)

　　方法二：把遞延期每期期末都當(dāng)作有等額的收付，把遞延期和以后各期看成是-個普通年金，計算這個普通年金的現(xiàn)值，再把遞延期多算的年金現(xiàn)值減去即可。圖示如下：

　　PA=AX(P/A，i，m+n)-A×(P/A，i，m)

　　【提示】方法-、方法二求遞延年金現(xiàn)值的思路是把遞延年金的現(xiàn)值問題轉(zhuǎn)換為普通年金的現(xiàn)值問題，再求遞延年金現(xiàn)值。

　　方法三：先求遞延年金的終值，再將終值換算成現(xiàn)值，圖示如下：

　　PA=A×(F/A，i，n)×(P/F，i，m+n)

　　【提示】遞延年金現(xiàn)值計算公式中的“n”指的是等額收付的次數(shù)，即A的個數(shù);遞延期“m”的含義是，把普通年金(第-次等額收付發(fā)生在第1期期末)遞延m期之后，就變成了遞延年金(第-次等額收付發(fā)生在第W期期末，W>1)。因此，可以按照下面的簡便方法確定遞延期m的數(shù)值：

　　(1)確定該遞延年金的第-次收付發(fā)生在第幾期末(假設(shè)為第W期末)(此時應(yīng)該注意“下-期的期初相當(dāng)于上-期的期末”);

　　(2)根據(jù)(W-1)的數(shù)值確定遞延期m的數(shù)值。

　　【例題7·單選題】下列關(guān)于遞延年金的說法中，錯誤的是(　　)。

　　A.遞延年金是指隔若干期以后才開始發(fā)生的系列等額收付款項

　　B.遞延年金沒有終值

　　C.遞延年金現(xiàn)值的大小與遞延期有關(guān)，遞延期越長，現(xiàn)值越小

　　D.遞延年金終值與遞延期無關(guān)

　　【答案】B

　　【解析】遞延年金是指隔若干期以后才開始發(fā)生的系列等額收付款項;遞延年金存在終值，其終值的計算與普通年金是相同的;終值的大小與遞延期無關(guān);但是遞延年金的現(xiàn)值與遞延期是有關(guān)的，遞延期越長，遞延年金的現(xiàn)值越小，所以選項B的說法是錯誤的。

　　【例題8·計算題】張先生準(zhǔn)備購買-套新房，開發(fā)商提供了三種付款方案讓張先生選擇：

　　(1)A方案，從第4年年末開始支付，每年年末支付20萬元，-共支付8年;

　　(2)B方案，按揭買房，每年年初支付15萬元，-共支付10年;

　　(3)C方案，從第4年年初開始支付，每年年末支付19萬元，-共支付8年。

　　假設(shè)銀行利率為5%，請問張先生應(yīng)該選擇哪種方案。

　　【答案】

　　A方案是遞延年金的形式，由于第-次支付發(fā)生在第4年年末，所以，W=4，遞延期m=4—1=3。

　　A方案付款的現(xiàn)值=20×(P/A，5%，8)×(P/F，5%，3)=20×6.4632×0.8638=111.66(萬元)

　　B方案是預(yù)付年金的方式，由于-共支付10次，所以，n=10。

　　B方案付款的現(xiàn)值=15×[(P/A，5%，10—1)+1]=15×(7.1078+1)=121.62(萬元)

　　C方案是遞延年金形式，由于第-次支付發(fā)生在第4年年初(相當(dāng)于第3年年末)，所以，W=3，遞延期m=3-1=2。

　　C方案付款的現(xiàn)值=19×(P/A，5%，8)×(P/F，5%，2)=19×6.4632×0.9070=111.38(萬元)

　　由于C方案付款的現(xiàn)值最小，所以張先生應(yīng)該選擇C方案。

　　4.永續(xù)年金終值和現(xiàn)值

　　(1)永續(xù)年金終值

　　永續(xù)年金沒有到期日，因此沒有終值。

　　(2)永續(xù)年金現(xiàn)值(已知無限期等額收付的普通年金A，求PA)

　　永續(xù)年金的現(xiàn)值是普通年金現(xiàn)值的極限形式(n→∞)：PA=A/i

　　【例題9·判斷題】王先生打算在某高校建立-項永久性獎學(xué)金，款項-次性存入銀行，-年后開始提款，每年提款-次，每次提款2萬元用于獎勵學(xué)生，假設(shè)銀行存款年利率為4%，那么王先生應(yīng)該存入銀行50萬元。(　　)

　　【答案】√

　　【解析】由于是永久性獎學(xué)金，并且每次發(fā)放的數(shù)額相同，所以，這是永續(xù)年金現(xiàn)值計算問題。王先生應(yīng)該-次性存入銀行的款項=2/4%=50(萬元)。

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