例5：有一個(gè)年級(jí)的同學(xué)，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，問(wèn)這個(gè)年級(jí)至少有多少人？
題中9、7、5三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。
則〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
為了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，
因?yàn)椋?508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的數(shù)。
�。ɡ�5與例4的除數(shù)相同，那么各個(gè)余數(shù)要乘的“數(shù)”也分別相同，所不同的就是最后兩步。）
“中國(guó)剩余定理”簡(jiǎn)介： 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中，記載這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何�！庇矛F(xiàn)在的話來(lái)說(shuō)就是：“有一批物品，三個(gè)三個(gè)地?cái)?shù)余二個(gè)，五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)余三個(gè)，七個(gè)七個(gè)地?cái)?shù)余二個(gè)，問(wèn)這批物品最少有多少個(gè)�！边@個(gè)問(wèn)題的解題思路，被稱為“孫子問(wèn)題”、“鬼谷算”、“隔墻算”、“韓信點(diǎn)兵”等等。
那么，這個(gè)問(wèn)題怎么解呢？明朝數(shù)學(xué)家程大位把這一解法編成四句歌訣：
三人同行七十（70）稀，五樹(shù)梅花廿一（21）枝，
七子團(tuán)圓正月半（15）， 除百零五（105）便得知。
歌訣中每一句話都是一步解法：第一句指除以3的余數(shù)用70去乘；第二句指除以5的余數(shù)用21去乘；第三句指除以7的余數(shù)用15去乘；第四句指上面乘得的三個(gè)積相加的和如超過(guò)105，就減去105的倍數(shù)，就得到答案了。即： 70×2＋21×3＋15×2－105×2=23
《孫子算經(jīng)》的“物不知數(shù)”題雖然開(kāi)創(chuàng)了一次同余式研究的先河，但由于題目比較簡(jiǎn)單，甚至用試猜的方法也能求得，所以尚沒(méi)有上升到一套完整的計(jì)算程序和理論的高度。真正從完整的計(jì)算程序和理論上解決這個(gè)問(wèn)題的，是南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶。秦九韶于公元1247年寫成的《數(shù)書(shū)九章》一書(shū)中提出了一個(gè)數(shù)學(xué)方法“大衍求一術(shù)”，系統(tǒng)地論述了一次同余式組解法的基本原理和一般程序。
從《孫子算經(jīng)》到秦九韶《數(shù)書(shū)九章》對(duì)一次同余式問(wèn)題的研究成果，在19世紀(jì)中期開(kāi)始受到西方數(shù)學(xué)界的重視。1852年，英國(guó)傳教士偉烈亞力向歐洲介紹了《孫子算經(jīng)》的“物不知數(shù)”題和秦九韶的“大衍求一術(shù)”；1876年，德國(guó)人馬蒂生指出，中國(guó)的這一解法與西方19世紀(jì)高斯《算術(shù)探究》中關(guān)于一次同余式組的解法完全一致。從此，中國(guó)古代數(shù)學(xué)的這一創(chuàng)造逐漸受到世界學(xué)者的矚目，并在西方數(shù)學(xué)史著作中正式被稱為“中國(guó)剩余定理”。
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