◎比例問(wèn)題
比例問(wèn)題是數(shù)學(xué)運(yùn)算部分的重點(diǎn)題型，在考試中出現(xiàn)的頻率較高。
比例問(wèn)題包括工程問(wèn)題、濃度問(wèn)題、鐘表問(wèn)題、牛吃草問(wèn)題等，“設(shè)1法”是比例問(wèn)題的核心解題方法，即將某個(gè)量設(shè)為便于計(jì)算的某一常數(shù)�！霸O(shè)1法”使用的前提是題目中沒(méi)有涉及某個(gè)具體量的大小，并且這個(gè)具體量的大小并不影響最終結(jié)果。不僅工程問(wèn)題、濃度問(wèn)題經(jīng)常用到“設(shè)1法”，往返行程問(wèn)題、幾何問(wèn)題、費(fèi)用問(wèn)題、和差倍比問(wèn)題等也經(jīng)常用到。
一、工程問(wèn)題
工程問(wèn)題核心公式：
工作總量=工作效率×工作時(shí)間
在工作總量保持不變時(shí)(對(duì)完成工程而言，一般如此)，工作效率與工作時(shí)間成反比。
在工程問(wèn)題中，效率是解題的關(guān)鍵，無(wú)論是列方程還是分析各量關(guān)系，都要選擇效率作為思考的著眼點(diǎn)。
在工程問(wèn)題中，工程總量一般是不需要具體值的，通常設(shè)為1，然后表示出效率進(jìn)行求解。但此時(shí)效率往往表示為分?jǐn)?shù)，求解較費(fèi)時(shí)間。因此對(duì)很多問(wèn)題，將工作總量設(shè)為合適的常數(shù)，更能方便快速地解題。這里的常數(shù)一般是完成時(shí)間的最小公倍數(shù)。
(一)基本工程問(wèn)題
情境特點(diǎn)：某人完成某項(xiàng)任務(wù)由若干不同階段組成，或者兩至三人的簡(jiǎn)單合作關(guān)系，或者兩至三人完成一定工作量的關(guān)聯(lián)關(guān)系。
思路提示：將總量設(shè)為1(或某常數(shù))，據(jù)此表示出各個(gè)工作效率，根據(jù)題目給出的等量關(guān)系列方程或者直接列式求解。涉及多人的不同完成情況時(shí)，考慮通過(guò)比例對(duì)應(yīng)來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。
(二)無(wú)順序變動(dòng)合作問(wèn)題
情境特點(diǎn)：多人合作完成某項(xiàng)工程，參與人員分階段發(fā)生變動(dòng)，每階段參與時(shí)間明確。
思路提示：對(duì)合作的幾人，只要保證每個(gè)人的工作總量保持不變，則他們之間的合作關(guān)系可以任意打亂重排，可以按照題目給出的條件進(jìn)行合作關(guān)系的重新調(diào)整(拆分組合)，以及單獨(dú)考慮某人的工作全程(組合)。
(三)兩人合作調(diào)整型問(wèn)題
情境特點(diǎn)：先給出一種兩人合作完成某工程的方案，然后給出另一種同樣可以完成該工程的方案，待求相關(guān)量。
思路提示：分析前后方案的差異之處，確定兩人之間的效率比例關(guān)系，即多少份的A相當(dāng)于多少份的B。基于比例關(guān)系快速求解。
(四)時(shí)間效率比例轉(zhuǎn)化型問(wèn)題
情境特點(diǎn)：不同效率導(dǎo)致完工時(shí)間不同，出現(xiàn)“提前”或“延遲”等提示詞語(yǔ)。
思路提示：利用工程量保持不變時(shí)，工作效率與工作時(shí)間成反比，通過(guò)時(shí)間、效率中一個(gè)量的前后比例來(lái)反映另一個(gè)量的前后比例。
二、濃度問(wèn)題
濃度問(wèn)題是數(shù)量關(guān)系的熱點(diǎn)問(wèn)題，難度不大，更側(cè)重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解與掌握。濃度問(wèn)題僅涉及濃度、溶質(zhì)、溶液三個(gè)量，主要考查三個(gè)量的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，特別是各個(gè)量的變化對(duì)濃度的影響。
在濃度問(wèn)題中，最易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是在三個(gè)量之間的關(guān)系上，尤其是濃度發(fā)生變化時(shí)，不能快速、準(zhǔn)確地找到關(guān)鍵條件，從而不能清晰地分析問(wèn)題。特別注意，濃度問(wèn)題的突破口在于抓住題目敘述過(guò)程中的不變量及相等量。
核心知識(shí)點(diǎn)：
濃度=溶質(zhì)÷溶液
溶液=溶質(zhì)+溶劑
濃度問(wèn)題中常用的解題技巧包括列方程、賦值法、抓不變量法。
(一)重復(fù)稀釋問(wèn)題
情境特點(diǎn)：已知有溶液若干，每次先倒出若干，再添水補(bǔ)滿，重復(fù)多次;或已知有溶液若干，先添水稀釋，再倒出若干，重復(fù)多次。
(二)溶液混合問(wèn)題
情境特點(diǎn)：兩種或者三種溶液的混合過(guò)程，待求其中某量。
思路提示：直接套用公式或十字交叉法。
(三)等量揮發(fā)問(wèn)題
情境特點(diǎn)：以濃度的變化來(lái)描述某溶液蒸發(fā)或稀釋問(wèn)題，不涉及具體量，僅涉及濃度變化。
思路提示：賦值法。選定在變化過(guò)程中保持不變的量(通常為溶質(zhì))，給其賦一個(gè)方便計(jì)算的值，然后順勢(shì)推出其余各量，從而可知問(wèn)題答案。
(四)抽象比例濃度問(wèn)題
情境特點(diǎn)：一般僅涉及溶質(zhì)、溶劑等量之間的比例，不涉及具體總量。
思路提示：賦值法。為題中所出現(xiàn)的“不變量”或“相等量”賦值，然后代入計(jì)算。
三、鐘表問(wèn)題
時(shí)鐘問(wèn)題主要涉及鐘面基本知識(shí)、時(shí)針與分針的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題、壞表問(wèn)題等一系列問(wèn)題。以鐘面模型為基礎(chǔ)的問(wèn)題，絕大多數(shù)都是圍繞比例展開(kāi)的，也是數(shù)量關(guān)系的重點(diǎn)考查題型。鐘表問(wèn)題的解題關(guān)鍵是綜合運(yùn)用鐘面常識(shí)，這些常識(shí)是試題的隱含條件。
鐘面基本知識(shí)包括：
(1)時(shí)針一晝夜轉(zhuǎn)2圈，分針一晝夜轉(zhuǎn)24圈，分針與時(shí)針的轉(zhuǎn)速之比為12∶1。
(2)時(shí)針與分針一晝夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。
(3)時(shí)針與分針成某個(gè)角度往往需要考慮到對(duì)稱的兩種情況。
(4)無(wú)論是標(biāo)準(zhǔn)表還是壞表，都是勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的，只是速度不同而已。
(5)鐘面上一分鐘的間隔視作一個(gè)小格，五分鐘的間隔視作一個(gè)大格。
(一)鐘面基本知識(shí)
情境特點(diǎn)：側(cè)重時(shí)針與分針的角度關(guān)系。
思路提示：將鐘面上看作一圈，分成12個(gè)大格，每個(gè)大格的角度為30°;時(shí)針一小時(shí)轉(zhuǎn)1個(gè)大格，分針一小時(shí)轉(zhuǎn)12個(gè)大格;每個(gè)大格內(nèi)分為5個(gè)小格，分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)1個(gè)小格;解題時(shí)，直接考慮時(shí)針與分針之間的角度情況，涉及路徑時(shí)可拿鐘表來(lái)實(shí)際操作一下。
(二)追及時(shí)長(zhǎng)問(wèn)題
情境特點(diǎn)：一般只涉及單個(gè)時(shí)鐘，給出一個(gè)起始時(shí)刻或狀態(tài)，待求多長(zhǎng)時(shí)間后到達(dá)另一時(shí)刻或狀態(tài)。
思路提示：應(yīng)用比例。將鐘面的轉(zhuǎn)圈過(guò)程理解為行程模型，易知分針與時(shí)針的速度始終為12∶1，這說(shuō)明在相同的時(shí)間內(nèi)若時(shí)針走過(guò)的距離為1份，則分針走過(guò)的距離為12份，兩者的距離之差為11份，兩者的距離之和為13份，這是恒定的比例。利用此比例可得答案。
比例技巧的特例：鐘面上很多問(wèn)題本質(zhì)上是追及問(wèn)題，根據(jù)上面分針、時(shí)針、兩者之差之間的比例關(guān)系，我們可以給出如下公式：
四、牛吃草問(wèn)題
牛吃草問(wèn)題又叫牛頓牧場(chǎng)或消長(zhǎng)問(wèn)題。
情境特點(diǎn)：某量以一定速度均勻增長(zhǎng)，同時(shí)又以另一速度被均勻消耗。
思路提示：直接套用牛吃草問(wèn)題公式，可得一次方程組，快速求解即可。
設(shè)牛數(shù)為N，每天長(zhǎng)草量為x(相當(dāng)于x頭牛每天吃的草量)，則牛吃草核心公式：
草場(chǎng)原有草量=(牛數(shù)-每天長(zhǎng)草量)×天數(shù)
在上述公式中，草場(chǎng)原有草量、每天長(zhǎng)草量?jī)H是為了得到合適的方程而作的表述，其單位并不是我們通常所理解的單位。牛吃草問(wèn)題模型可以套用到超市收銀臺(tái)結(jié)賬、漏船排水、窗口售票等各種環(huán)境。
◎盈虧問(wèn)題
情境特點(diǎn)：某些人分某些物品，因每次每人分得數(shù)量不同而導(dǎo)致總量有剩余或還欠缺。
思路提示：方程法。待求量為物品總量時(shí)，還可以采用直接代入法。
盈虧問(wèn)題核心公式：
總量=份數(shù)×每份數(shù)量+盈余(-虧損)
◎年齡問(wèn)題
年齡問(wèn)題是數(shù)學(xué)運(yùn)算的一類�？碱}型，相較其他題型而言，這類問(wèn)題隱含條件較多，即與生活常識(shí)結(jié)合較多，從而能夠以較短的題目長(zhǎng)度充分考查考生的思維能力。在年齡問(wèn)題中，簡(jiǎn)單的常識(shí)有：一個(gè)人的年齡及兩個(gè)人的年齡差一般在100以內(nèi);每人每年長(zhǎng)1歲;兩個(gè)人的年齡倍數(shù)關(guān)系隨著時(shí)間推移而不斷變小等。
核心知識(shí)點(diǎn)：任何兩個(gè)人的年齡差始終保持不變。
一、年齡差問(wèn)題
情境特點(diǎn)：兩個(gè)人的年齡比較情況，往往涉及年齡倍數(shù)。
思路提示：將題目的條件全部轉(zhuǎn)化為年齡差的性質(zhì)，始終抓住年齡差作為研究對(duì)象，快速得解。
二、普通年齡問(wèn)題
情境特點(diǎn)：多人之間的年齡關(guān)系。
思路提示：方程法。第一步寫出每個(gè)人在每個(gè)時(shí)期的年齡，第二步列方程。列方程時(shí)，題目中存在等量關(guān)系(包括兩個(gè)人年齡之間的比較關(guān)系)，則據(jù)此列方程，條件不夠或缺少時(shí)根據(jù)兩人的年齡差保持不變列方程。
三、置換年齡問(wèn)題
情境特點(diǎn)：給出兩個(gè)人分別處于對(duì)方年齡時(shí)，對(duì)方的實(shí)際年齡，待求兩人當(dāng)前年齡。
思路提示：通過(guò)將總的時(shí)間長(zhǎng)度進(jìn)行分段來(lái)實(shí)現(xiàn)快速求解，也可以按照普通年齡問(wèn)題的解法兩步走、列方程求解。
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