2011年4.24聯考行測數量關系解題法：容斥問題

　　一、知識要點

　　在計數時，為了使重疊部分不被重復計算，人們研究出一種新的計數方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內容中的所有對象的數目先計算出來，然后再把計數時重復計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復，這種計數的方法稱為容斥原理。它的基本形式有兩種：

　　(1)兩個集合的容斥關系：記A、B是兩個集合，屬于集合A的東西有A 個，屬于集合B的東西有B個，既屬于集合A又屬于集合B的東西記為 A∩B;屬于集合A或屬于集合B的東西記為A∪B ，則有：A∪B = A+B - A∩B。

　　(2)三集合的容斥關系：如果被計數的事物有A、B、C三類，那么，A類和B類和C類元素個數總和= A類元素個數+ B類元素個數+C類元素個數—既是A類又是B類的元素個數—既是A類又是C類的元素個數—既是B類又是C類的元素個數+既是A類又是B類而且是C類的元素個數。用符號來表示為：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C

　　二、解題方法

　　(1)公式法：當題目中的條件完全符合以下兩個公式時，用公式直接代入求解。

　　兩個集合：A∪B = A+B - A∩B=總個數 ------兩者都不滿足的個數

　　三個集合：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C=總個數------三者都不滿足的個數

　　(2)畫圖法：條件或者所求不完全能用上述兩個公式表示時，利用文氏圖來解決。畫圖法核心步驟：

　　①畫圈圖; ②填數字(先填最外一層，再填最內一層，然后填中間層); ③做計算。

　　(3)三集合整體重復型核心公式：

　　假如滿足三個條件的元素數量分別為A、B、C，總量為M，滿足兩個條件的總和為x，滿足三個條件的個數為y，三者都不滿足的條件為p，則有：A∪B∪C= A+B+C-x-2y=M-p。

　　三、例題解析：

　　例1、現有50名學生都做物理、化學實驗，如果物理實驗做正確的有40人，化學實驗做正確的有31人，兩種實驗都做錯的有4人，則兩種實驗都做對的有多少人【2006年國家公務員一類考試行測第42題】

　　A.27人　　B.25人　　C.19人　　D.10人

　　【答案】B

　　【解析】設兩種實驗都做對的有x人，根據核心公式：40+31-x=50-4，解得x=25

　　例2、某單位有60名運動員參加運動會開幕式，他們著裝白色或黑色上衣，黑色或藍色褲子。其中有12人穿白上衣藍褲子，有34人穿黑褲子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑褲子的有多少人? 【2008年廣東省公務員考試行測題】

　　A.12　　B14　　C15　　D.19

　　【答案】C

　　【解析】根據核心公式：34+29-x=60-12，解得x=15

　　例3、某專業(yè)有學生50人，現開設甲、乙、丙三門選修課。有40人選修甲課程，36人選修乙課程，30人選修丙課程，兼選甲、乙兩門課的有28人，兼選甲、丙兩門課的有26人，兼選乙、丙兩門課程的有24人，甲、乙、丙三門課程均選的有20人，問三門課均未選的有多少人?【2009年浙江省公務員考試題】

　　A.1人　　B.2人　　C.3人　　D.4人

　　【答案】B

　　【解析】根據核心公式：40+36+30-28-26-24+20=50-x，解得x=2

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