公務(wù)員考試行測輔導(dǎo)：數(shù)學(xué)運(yùn)算中的排列組合問題

　　排列組合問題作為數(shù)學(xué)運(yùn)算中相對(duì)獨(dú)立的一塊，在公務(wù)員考試中的出場率頗高，題量一般在一到兩道，近年國考這部分題型的難度逐漸在加大，解題方法也越來越多樣化，所以在掌握了基本方法原理的基礎(chǔ)上，還要求我們熟悉主要解題思想。

　　【基本原理】

　　加法原理：完成一件事,有N種不同的途徑，而每種途徑又有多種可能方法。那么，完成這件事就需要把這些種可能的做法加起來；   乘法原理： 完成一件事需要n個(gè)步驟，每一步分別有m1，m2，…，mn種做法。那么完成這件事就需要:：m1×m2×…×mn種不同方法。

　　【排列與組合】

　　排列：從n個(gè)不同元素中，任取m( )個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列

　　組合：從n個(gè)不同元素種取出m（ ）個(gè)元素拼成一組，稱為從n個(gè)不同元素取出m個(gè)元素的一個(gè)組合

　　【排列和組合的區(qū)別】

　　組合是從n個(gè)不同的元素種選出m個(gè)元素,有多少種不同的選法。只是把m個(gè)元素選出來,而不考慮選出來的這些元素的順序；而排列不光要選出來,還要把選出來的元素按順序排上,也就是要考慮選出元素的順序。所以從這個(gè)角度上說,組合數(shù)一定不大于排列數(shù)。

　　【特殊解題方法】

　　解決排列組合問題有幾種相對(duì)比較特殊的方法:插空法，插板法。以下逐個(gè)說明:

　　(一).插空法

　　這類問題一般具有以下特點(diǎn)：題目中有相對(duì)位置不變的元素,不妨稱之為固定元素,也有相對(duì)位置有變化的元素,稱之為活動(dòng)元素,而要求我們做的就是把這些活動(dòng)元素插到固定元素形成的空中。舉例說明:

　　例題1 ：一張節(jié)目表上原有3個(gè)節(jié)目，如果保持這3個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，再添進(jìn)去2個(gè)新節(jié)目，有多少種安排方法？                            

　　(2008國家行測) A.20    B.12    C.6    D.4    

　　解法1：這里的“固定元素”有3個(gè)，“活動(dòng)元素”有兩個(gè)，但需要注意的是,活動(dòng)元素本身的順序問題，在此題中： 1).當(dāng)兩個(gè)新節(jié)目挨著的時(shí)候：把這兩個(gè)挨著的新節(jié)目看成一個(gè)(相當(dāng)于把它們捆在一起,注意:捆在一起的這兩個(gè)節(jié)目本身也有順序)放到“固定元素”形成的空中，有:C41×2=8 種方法。   2).當(dāng)兩個(gè)節(jié)目不挨著的時(shí)候：此時(shí)變成一個(gè)排列問題,即從四個(gè)空中任意選出兩個(gè)按順序放兩個(gè)不同的節(jié)目,有：P42=12種方法。 綜上所述，共有12+8=20種。

　　解法2：分部解決。1）可以先插入一個(gè)節(jié)目，有4種辦法；                   2）然后再插入另一個(gè)節(jié)目，這時(shí)第一次插入的節(jié)目也變成“固定元素”故共有5個(gè)空可供選擇；   應(yīng)用乘法原理：4×5=20種   

　　例題2. 小明家住二層，他每次回家上樓梯時(shí)都是一步邁兩級(jí)或三級(jí)臺(tái)階。已知相鄰樓層之間有16級(jí)臺(tái)階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？

　　A.54          B.64         C.57           D.37

　　解法一：列表解題，第四個(gè)數(shù)=第一個(gè)數(shù)＋第二個(gè)數(shù)。

臺(tái)階	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
走法	0	1	1	1	2	2	3	4	5	7	9	12	16	21	28	37

　　解法二：插空法解題:考慮走3級(jí)臺(tái)階的次數(shù)：

1）有0次走3級(jí)臺(tái)階（即全走2級(jí)），那么有1種走法；

2）有1次走三級(jí)臺(tái)階。（不可能完成任務(wù)）；

3）有兩次走3級(jí)臺(tái)階，則有5次走2級(jí)臺(tái)階：

 (a)兩次三級(jí)臺(tái)階挨著時(shí)：相當(dāng)于把這兩個(gè)挨著的三級(jí)臺(tái)階放到5個(gè)兩級(jí)臺(tái)階形成的空中，有C61=6種走法；

 (b)兩次三級(jí)不挨著時(shí)：相當(dāng)于把這兩個(gè)不挨著的三級(jí)臺(tái)階放到5個(gè)兩級(jí)臺(tái)階形成的空中，有C62=15種走法。

4）有3次（不可能）

5）有4次走3級(jí)臺(tái)階，則有2次走兩級(jí)臺(tái)階，互換角色，想成把兩個(gè)2級(jí)臺(tái)階放到3級(jí)臺(tái)階形成得空中，同（3）考慮挨著和不挨著兩種情況有C51+C52=15種走法；

6）有5次（不可能） 故總共有：1+6+15+15=37種。