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幾何問題是行測(cè)數(shù)量關(guān)系中的必考考點(diǎn)，它的考察包括平面幾何和立體幾何，其中平面幾何的考察以求解長度和面積為主，立體幾何主要考察的是體積和表面積的求解，而在立體幾何的考察中還有一種比較有意思的題型就是立體幾何染色問題。對(duì)這類問題有了解過的朋友都知道，它對(duì)于我們的空間思維能力要求比較高，那么空間思維能力較差的話，我們要怎樣應(yīng)對(duì)這類題目呢?接下來考試吧公務(wù)員考試網(wǎng)跟大家一起來探討一下，相信只要我們掌握了相應(yīng)的基礎(chǔ)知識(shí)，這類問題解決起來就會(huì)游刃有余了。
一、立體幾何染色問題的基礎(chǔ)知識(shí)
在一個(gè)邊長為n的正方體表面全部涂上藍(lán)色，將其切成邊長為1的小正方體，則在這些小正方體可分為3面有色、2面有色、1面有色和0面有色四種。從下圖上我們看出一個(gè)正方體有8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱，6個(gè)面，其中頂點(diǎn)上的8個(gè)小正方體3面都涂上了藍(lán)色，在棱上而不在頂點(diǎn)上的小立方體2面涂上了藍(lán)色，正方體的外表面非棱非角部分面涂了藍(lán)色。故：
3面有色的一共有：8個(gè);
2面有色的一共有：12×(n-2)個(gè);
1面有色的一共有：6×(n-2)2個(gè);
0面有色的一共有：(n-2)3個(gè)。
同理，我們可以拓展到長方體。在一個(gè)長、寬、高分別為a、b、c的長方體表面全部涂上顏色，將其切成邊長為1的小正方體，則在這些小正方體可分為3面有色、2面有色、1面有色和0面有色四種，其中：
3面有色的一共有：8個(gè);
2面有色的一共有：4×{(a-2)+(b-2)+(c-2)}個(gè);
1面有色的一共有：2×{(a-2)×(b-2)+(a-2)×(c-2)+(b-2)×(c-2)}個(gè);
0面有色的一共有：(a-2)×(b-2)×(c-2)個(gè)。
二、真題應(yīng)用
1、一個(gè)邊長為8cm的立方體，表面涂滿油漆，現(xiàn)在將它切割成邊長為0.5cm的小立方體，問兩個(gè)表面有油漆的小立方體有多少個(gè)?
A、144 B、168 C、192 D、256
【解析】兩個(gè)表面被涂油漆的小立方體在棱上而不在頂點(diǎn)上。大立方體棱長為8cm，切成小立方體棱長為0.5cm，則每條棱被分成16段，其中兩端不符合要求，因此每條棱上有14個(gè)小立方體符合。立方體共有12條棱，則符合要求的小立方體有14×12=168個(gè)。故正確答案為B。
2、將一個(gè)8厘米×8厘米×1厘米的白色長方體木塊的外表面涂上黑色顏料，然后將其切成64個(gè)棱長1厘米的小正方體，再用這些小正方體堆成棱長4厘米的大正方體，且使黑色的面向外露的面積要盡量大，問大正方體的表面上有多少平方厘米是黑色的( )。
A、84 B、88 C、92 D、96
【解析】由長方體木塊切得的小正方體中，4面黑的只有4塊，2面黑的正方體有24塊，而大正方體2面黑的剛好需要24塊，用完，3面黑的需要8塊，現(xiàn)在只有4塊，少了4，則只能用1面黑的代替，所以每個(gè)都少了2個(gè)面，共4個(gè)，則少8個(gè)面，少了8平方厘米，故大正方體表面黑色的面積為：4×4×6-8=88。故正確答案選B。
3、一個(gè)5×5×5的立方體表面全部涂上紅色，再將其分割成1×1×1的小立方體，取出全部至少有一個(gè)面是紅色的小立方體，組成表面全部是紅色的長方體，可組成的長方體的體積最大是：
A、125 B、98 C、96 D、94
【解析】至少有一個(gè)面是紅色的小立方體一共有：53-(5-2)3=125-27=98個(gè)，8個(gè)3面涂色的在長方體8個(gè)頂點(diǎn)處，(5-2)×12=36個(gè)2面涂色的在長方體的12條棱上，一面涂色的98-8-36=54個(gè)只能放在面的中間和里面。當(dāng)新長方體體積為98時(shí)，其長、寬、高分別為7、2、7(98=2×7×7)，2面涂色的需要(7-2)×8=40個(gè)，40>35，不滿足，故排除B;當(dāng)新長方體體積為96時(shí)，其長、寬、高分別為6、4、4(96=4×4×6)，2面涂色的需要(4-2)×8+(6-2)×4=32個(gè)，32<35，滿足要求，所以可組成的長方體的體積最大是96。故正確答案選C。
通過以上三道題目，考試吧公務(wù)員考試網(wǎng)相信大家對(duì)于立體幾何染色問題已經(jīng)有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)和理解，希望大家能夠熟練掌握立體幾何染色問題的基礎(chǔ)知識(shí)，在做題的時(shí)候能夠靈活運(yùn)用。
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