拉燈問題曾是困惑很多學(xué)員的難題，特別是當(dāng)燈的總數(shù)量比較大的時(shí)候，如何來確定此類問題最終亮著的或滅掉的燈的數(shù)量是此類問題的關(guān)鍵。主要從以下幾個(gè)題型具體分析解決此類問題的思路。
一、初等拉燈問題---倍數(shù)、約數(shù)
例1： 走廊里有10盞電燈，從1到10編號(hào)，開始時(shí)電燈全部關(guān)閉。有10個(gè)學(xué)生依次通過走廊，第1個(gè)學(xué)生把所有的燈繩都拉了一下，第2個(gè)學(xué)生把2的倍數(shù)號(hào)的燈繩都拉了一下，第3個(gè)學(xué)生把3的倍數(shù)號(hào)的燈繩都拉了一下……第10個(gè)學(xué)生把第10號(hào)燈的燈繩拉了一下。假定每拉動(dòng)一次燈繩，該燈的亮與不亮就改變一次。試判定：當(dāng)這10個(gè)學(xué)生通過走廊后，走廊里有多少盞燈是亮的?
A.2 B.3 C.4 D.5
分析：
(1)原來電燈全部關(guān)閉，拉一下，亮著;拉兩下，滅了;拉三下，亮著。因此，燈繩被拉動(dòng)奇數(shù)次的燈亮著。
(2)可從最簡單的情況考慮，把拉過某號(hào)的學(xué)生號(hào)碼寫出來尋找規(guī)律，如1號(hào)是第1個(gè)學(xué)生拉過，4是1,2，4號(hào)拉過，6是1,2，3,4號(hào)學(xué)生拉過，10是1,2，5,10號(hào)學(xué)生拉過，也就是第i號(hào)燈的燈繩被拉的次數(shù)就是i的所有約數(shù)的個(gè)數(shù)。由自然數(shù)因數(shù)分解的性質(zhì)知，只有當(dāng)i是平方數(shù)時(shí)，i的約數(shù)的個(gè)數(shù)才是奇數(shù)，所以只有1，4，9號(hào)燈亮著。
本題答案：1，4，9號(hào)燈亮著，共有3盞燈。選B。
總結(jié)：此類拉燈問題比較簡單，假如把數(shù)字?jǐn)U大看起來會(huì)很麻煩，但思路還是相同的，在做題是要擅長歸納總結(jié)，提煉出基本模型。下面看一下數(shù)字較大的情況：
例2：一間實(shí)驗(yàn)室里有100盞燈，分別編號(hào)為1、2、3、……、100號(hào)，它們起初都是關(guān)著的。現(xiàn)在有學(xué)號(hào)為1、2、3、……、100號(hào)的學(xué)生分別走進(jìn)這間實(shí)驗(yàn)室。1號(hào)學(xué)生把所有的燈的開關(guān)都拉了一次;2號(hào)學(xué)生把偶數(shù)號(hào)的燈的開關(guān)又都拉了一次;3號(hào)學(xué)生把倍數(shù)是3的號(hào)數(shù)的燈的開關(guān)都拉了一次;4號(hào)學(xué)生把倍數(shù)是4的號(hào)數(shù)的燈的開關(guān)都拉了一次;……當(dāng)這100個(gè)學(xué)生全部走進(jìn)了實(shí)驗(yàn)室之后，最后亮著的燈有多少盞?( )
A.4 B.6 C.8 D.10
分析：
(1) 原來電燈全部關(guān)閉，拉一下，亮著;拉兩下，滅了;拉三下，亮著。因此，燈繩被拉動(dòng)奇數(shù)次的燈亮著。
(2) 思路同例1，所有的平方數(shù)的燈亮著。1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，10盞燈亮著。
選D。
例3：現(xiàn)在有1000盞燈，全亮，每個(gè)燈都由1個(gè)拉線開關(guān)控制。然后拉開關(guān)，規(guī)則：
先拉一下1的倍數(shù)的開關(guān)。(也就是說每個(gè)燈都得拉一下)，然后拉2的倍數(shù)的開關(guān)……
……最后拉1000的倍數(shù)的開關(guān)，問最后有幾盞燈是亮的?( )
A.21 B.31 C.969 D.979
分析：
(1)原來電燈全亮著，拉一下，滅了;拉兩下，亮著;拉三下，滅了。因此，燈繩被拉動(dòng)奇數(shù)次的燈滅了。此題先求滅著的燈的數(shù)量，再求亮著的燈。
(2)思路同例1，被拉過奇數(shù)次的是約數(shù)為奇數(shù)個(gè)的燈，也就是燈號(hào)為平方數(shù)的燈，
1000以內(nèi)：最小有1的平方，最大有31的平方。滅掉的燈有31盞，因此亮著燈有1000-31=969盞。
(3)注意：看清本題要求，不能選31，正確答案選C。
二、拉登難題—三集合容斥原理型
例4： 有1000盞亮著的燈，各有一個(gè)拉線開關(guān)控制著。現(xiàn)按其順序編號(hào)為1、2、3、4、5······1000，然后將編號(hào)為2的倍數(shù)的燈線拉一下，再將編號(hào)為3的倍數(shù)的燈線拉一下，最后將編號(hào)為5的倍數(shù)的燈線拉一下，三次拉完后，亮著的電燈有多少盞?( )
A.468 B.499 C.501 D.532
分析：
(1) 原來電燈亮著，拉一下，滅了;拉兩下，亮著;拉三下，滅了。因此，燈繩被拉動(dòng)奇數(shù)次的燈滅了。此題先求滅著的燈的數(shù)量，再求亮著的燈。
(2) 注意：此題目拉燈的方法不同前三個(gè)例題。編號(hào)為2的倍數(shù)，3的倍數(shù)，5的倍數(shù)的燈一次都拉。可以據(jù)此，看做是三集和問題。
(3) 三個(gè)圓圈分別代表：上圓---編號(hào)為2的倍數(shù)的燈，有500盞;左圓---編號(hào)為3的倍數(shù)的燈，有333盞燈，右圓---編號(hào)為5的倍數(shù)的燈，有200盞。其燈的亮或滅情況見圖，
(4) 數(shù)據(jù)計(jì)算：即能被2又能被3整除的有1000/6=166個(gè);同理，能被2,5整除的有200個(gè)，能被3,5整除的有66個(gè)，能同時(shí)被2.3.5整除的有33個(gè)。請(qǐng)學(xué)員把每部分的數(shù)據(jù)填到上圖中，圖中四部分滅的燈有：上圓：500-166-100+33=267;左圓：333-166-66+33=134;右圓：200-100-66+33=67;中心滅：33，四部分滅著的燈共有：267+134+67+33=501，所有亮著燈有1000-501=499.選B。
(5) 注意看清題目，501為易錯(cuò)選項(xiàng)。
拉燈問題，題目本身看起來操作繁瑣，但是其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理不難，熟練掌握此類型題目的解決思路，熟能生巧。
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