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2014公務(wù)員考試行測數(shù)量關(guān)系備考:剩余定理問題

來源:考試吧 2014-05-08 9:27:58 要考試,上考試吧! 公務(wù)員萬題庫
2014年黑龍江公務(wù)員考試確定于6月29日進行,“2014公務(wù)員考試行測數(shù)量關(guān)系備考:剩余定理問題”由考試吧發(fā)布,供考生參考,備考2014黑龍江公務(wù)員考試

  公務(wù)員考試數(shù)學(xué)運算部分,我們常用到整除的思想,但是有些題目我們會發(fā)覺題目中的被除數(shù)不滿足能被整除的條件,即有余數(shù),有一類題目稱為剩余問題,常見形式為一個數(shù)同時滿足除以a余x,除以b余y,除以c余z,其中a、b、c兩兩互質(zhì),求滿足這樣條件的數(shù)。對于這類題目我們在沒有學(xué)習(xí)剩余定理之前往往只能采用枚舉法來解決,而這種方法是比較繁瑣的,在行測考試中時間對大家來說是最重要的,因此掌握此種題型的解題方法對大家在做題準(zhǔn)確率以及做題速度上都有很大幫助。下面結(jié)合具體的例子給大家做一詳細(xì)的講解。

  剩余問題的解法:

  1. 特殊情況

  (1)余同(余數(shù)相同)加余

  【例題1】某校二年級全部共3個班的學(xué)生排隊,每排4人,5人或6人,最后一排都只有2人,這個學(xué)校二年級有( )名學(xué)生。

  A.120 B.122 C.121 D.123

  【答案】B

  【解析】方法一:代入排除法(略)

  方法二:由題意可知該校二年級的學(xué)生人數(shù)除以4、5、6均余2,余數(shù)相同,屬于余同,因此該班學(xué)生人數(shù)滿足通項公式N=60n+2 ,(n=0,1,2,3……),當(dāng)n=2時,N=122,選擇B項。

  注:n前面的系數(shù)60是取4、5、6三個除數(shù)的最小公倍數(shù)。

  (2)和同(除數(shù)和余數(shù)的和相同)加和

  【例題2】某個數(shù)除以5余3,除以6余2,除以7余1,求在0至500內(nèi)滿足這樣的自然數(shù)有多少個?

  A.3 B.2 C.4 D.5

  【答案】A

  【解析】此題我們通過觀察會發(fā)現(xiàn)除數(shù)與余數(shù)的和相加均為8,則該自然數(shù)應(yīng)滿足N=210n+8(n=0,1,2……)因此在0至500以內(nèi)滿足題干條件的自然數(shù)有8,218,428三個數(shù)。

  注:n前面的系數(shù)210是取5、6、7三個除數(shù)的最小公倍數(shù)。

  (3)差同(除數(shù)與余數(shù)之差相同)減差

  【例題3】三位運動員跨臺階,臺階總數(shù)在100-150級之間,第一位運動員每次跨3級臺階,最后一步還剩2級臺階。第二位運動員每次跨4級臺階,最后一步還剩3級臺階。第三位運動員每次跨5級臺階,最后一步還剩4級臺階。問:這些臺階總共有多少級?

  A. 119 B. 121 C. 129 D. 131

  【答案】A

  【解析】方法一:代入排除法(略)。

  方法二:通過觀察我們會發(fā)現(xiàn)除數(shù)與余數(shù)的差均為1,因此臺階數(shù)滿足:N=60n-1(n=1,2,3……),可發(fā)現(xiàn)A項滿足該通項公式。

  2.一般情況

  用同余特性解題

  【例題4】三位數(shù)的自然數(shù)P滿足:除以3余2,除以7余3,除以11余4,則符合條件的自然數(shù)P有多少個?

  A.5 B. 4 C. 6 D. 7

  【答案】B

  【解析】此題不滿足所給的條件不滿足我們前面所講的特殊情況,但是通過觀察我們發(fā)現(xiàn),P滿足除以3余2,除以7余3兩個條件時,在P的基礎(chǔ)上加上4,即(P+4)這個數(shù)一定是能夠被3整除以及被7整除的,因此(P+4)=21n,所以P=21n-4……①,得到的這個通項公式再與除以11余4進行找通項公式。該自然數(shù)P=21n-4=11a+4,等式左邊都是被11除,等式左邊的余數(shù)為10n-4,等式右邊的余數(shù)為4,我們知道一個數(shù)被11除余4,也可以認(rèn)為這個數(shù)被11除余15,或被11除余26等。根據(jù)同余特性可知,等式左邊的余數(shù)10n-4應(yīng)與等式右邊的余數(shù)4,15,26等數(shù)值相等。因為n要取整數(shù),所以取10n-4=26可以得到n=3代入①式得到P=59,所求的59這個數(shù)是滿足題干三個條件的最小數(shù),所以,滿足題干三個條件的數(shù)P=231n+59(n=1,2,3……),所以在三位數(shù)以內(nèi)的數(shù)有290,521,752,983四個數(shù)。選擇B項。

  【例題5】一個自然數(shù)P同時滿足除以3余1,除以4余3,除以7余4,求滿足這樣條件的三位數(shù)共有多少個?

  A.10 B.11 C.12 D.13

  【答案】B

  【解析】先取其中兩個條件,除以3余1,除以4余3,即P=4n+3=3a+1,等式兩邊同時除以3,等式左邊的余數(shù)為n,等式右邊的余數(shù)為1,即n=1,代入上式可知滿足上述兩個條件的最小的數(shù)為7,則同時滿足上述兩條件的數(shù)的通項公式為P=12n+7……①,再將①式所得的條件與題干中除以7余4的條件組合成新的條件。即滿足題干中三個條件的數(shù)P=12n+7=7b+4,等式兩邊同時除以未知數(shù)較小的系數(shù)7,則左邊余數(shù)為5n,等式右邊的余數(shù)是4,也可認(rèn)為余數(shù)是25,即5n=25,求解得n=5,代入到①式中,即同時滿足題干中三個條件的最小的自然數(shù)P=67,則滿足題干三個條件的數(shù)的通項公式為P=84n+67(n=0,1,2,3……)即100≦84n+67≦999可求得1≦n≦11,即符合題意的數(shù)共有11-1+1=11個數(shù)。

  在中國剩余問題的解決過程中,遇到一些余數(shù)較為特殊的情況下用剩余定理能夠很好的解決,但是對于出現(xiàn)的和不同,差不同,余不同的情況下,可以用同余特性得到很好的解決。主要思路是先找滿足題干中兩個條件的通項公式,將三者條件轉(zhuǎn)化成二者條件,然后再次利用同余特性加以解決即可。

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