不定方程問題一直以來是公考中的熱點(diǎn)題型，值得各位考生關(guān)注，而不定方程中由于題目中給出的信息比較少，所以對考生來說是一類不容易把握的題目，下面筆者就和大家探討一下公考中不定方程的解法。
一、不定方程—求具體未知數(shù)
【例1】裝某種產(chǎn)品的盒子有大、小兩種，大盒每盒能裝11個(gè)，小盒每盒能裝8個(gè)，要把89個(gè)產(chǎn)品裝入盒內(nèi)，要求每個(gè)盒子都恰好裝滿，需要大、小盒子各多少個(gè)?( )
A.3，7 B.4，6
C.5，4 D.6，3
【答案】A
【解析】本題目是不定方程問題。設(shè)大盒子的個(gè)數(shù)為x，小盒子的個(gè)數(shù)為y，根據(jù)題意：11x+8y=89，在這個(gè)方程中不難看出89是奇數(shù)、8y是偶數(shù)，那么11x應(yīng)該為奇數(shù)，說明x是偶數(shù)，排掉B、D兩個(gè)選項(xiàng)，A、C中代入任何一個(gè)即可，代入A選項(xiàng)，滿足題意，所以答案選擇A。
【點(diǎn)撥】遇到不定方程問題如果求具體某一個(gè)未知數(shù)的數(shù)值考慮代入排除法，同時(shí)結(jié)合數(shù)字特性，比如奇偶特性。
【例2】某兒童藝術(shù)培訓(xùn)中心有5名鋼琴教師和6名拉丁舞教師，培訓(xùn)中心將所有的鋼琴學(xué)員和拉丁舞學(xué)員共76人分別平均地分給各個(gè)老師帶領(lǐng)，剛好能夠分完，且每位老師所帶的學(xué)生數(shù)量都是質(zhì)數(shù)。后來由于學(xué)生人數(shù)減少，培訓(xùn)中心只保留了4名鋼琴教師和3名拉丁舞教師，但每名教師所帶的學(xué)生數(shù)量不變，那么目前培訓(xùn)中心還剩下學(xué)員多少人?( )
A.36 B.37
C.39 D.41
【答案】D
【解析】本題目是不定方程問題。設(shè)每個(gè)鋼琴教師所帶學(xué)生人數(shù)為x，每個(gè)拉丁舞教師所帶學(xué)生人數(shù)為y，根據(jù)題意：5×x+6×y=76，其中不難看出76、6×y是偶數(shù)，那么5×x應(yīng)該為偶數(shù)，說明x是偶數(shù)，x又是質(zhì)數(shù)，那么x=2，依此解得y=11，所以剩下的學(xué)員人數(shù)=4×2+3×11=41。選擇D。
【點(diǎn)撥】同樣是不定方程問題，需要求出未知數(shù)的確切數(shù)值才能解題，而選項(xiàng)沒有提供具體未知數(shù)信息時(shí)，考慮數(shù)字?jǐn)?shù)字特性，本題目利用奇偶特性。
【例3】99個(gè)蘋果裝進(jìn)兩種包裝盒，大包裝盒每盒裝12個(gè)蘋果，小包裝盒每盒裝5個(gè)蘋果，共用了十多個(gè)盒子剛好裝完。問兩種包裝盒相差多少個(gè)?( )
A.3 B.4
C.7 D.13
【答案】D
【解析】本題目是不定方程問題。設(shè)大包裝盒的個(gè)數(shù)為x，小包裝盒的個(gè)數(shù)為y，根據(jù)題意：12x+5y=99。在這個(gè)方程中不難看出99是奇數(shù)、12x是偶數(shù)，那么5y應(yīng)該為奇數(shù)，y是奇數(shù);并且經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)99和12x都是3的倍數(shù)，那么5y應(yīng)該也是3的倍數(shù)，說明y是3的倍數(shù)。那么y既是奇數(shù)又是3的倍數(shù)，只能取3、9、15、21…. 當(dāng)y=3時(shí)，x=7(不滿足題意);當(dāng)y=9時(shí)，x=4.5(不滿足題意);當(dāng)y=15時(shí)，x=2;滿足題意，x-y=13。所以答案選擇D。
除了考慮整除特性也可以考慮尾數(shù)特性，我們已經(jīng)確定5y是為奇數(shù)，那么其尾數(shù)一定是5，說明12x尾數(shù)一定是4，那么x只能等于2或7，當(dāng)x=7時(shí)，y=3 (不滿足題意);當(dāng)x=2時(shí)，y=15，滿足題意，x-y=13。所以答案選擇D。
【點(diǎn)撥】同樣是不定方程問題，需要求出未知數(shù)的確切數(shù)值才能解題，而選項(xiàng)沒有提供具體未知數(shù)信息時(shí)，考慮數(shù)字?jǐn)?shù)字特性，本題目利用奇偶特性、整除特性以及尾數(shù)特性。
從以上3個(gè)例題我們可以看出，這類不定方程一般需要我們求出具體的x或y的數(shù)值，才能得到題目中要求的答案，而解決這類不定方程問題常需要使用代入排除思想，同時(shí)還需要考慮奇偶特性和整除特性的應(yīng)用。
二、不定方程—求整體
【例4】甲買了3支簽字筆、7支圓珠筆和1支鉛筆，共花了32元，乙買了4支同樣的簽字筆、10支圓珠筆和1支鉛筆，共花了43元。如果同樣的簽字筆、圓珠筆、鉛筆各買一支，共用多少錢?( )
A.10元 B.11元
C.17元 D.21
【答案】A
【解析】(一)本題目是不定方程問題。設(shè)簽字筆、圓珠筆和鉛筆的價(jià)格分別是x、y、z，根據(jù)題意：3x+7y+z=32，4x+10y+z=43，兩個(gè)方程三個(gè)未知數(shù)解不出來具體的數(shù)值，但是問題需要的是x+y+z的值，可以考慮配系數(shù)，第一個(gè)方程乘以3、第二個(gè)方程乘以2之后二者相減，剛好得到x+y+z=10。
(二)本題目問題需要的是x+y+z的值，x、y、z具體數(shù)值不影響最終結(jié)果，可以使用賦值法令其中一個(gè)未知數(shù)y=0，此時(shí)解得：x=11，z=-1，x+y+z=10。選擇A。
【例5】去超市購買商品，如果買9件甲商品，5件乙商品和1件丙商品，一共需要72元;如果買13件甲商品，7件乙商品和1件丙商品，一共需要86元。若甲乙丙商品各買兩件，共需多少錢?( )
A.88 B.66
C.58 D.44
【答案】D
【解析】(一)本題目是不定方程問題。設(shè)甲、乙、丙的價(jià)格分別是x、y、z，根據(jù)題意：9x+5y+z=72，13x+7y+z=86，兩個(gè)方程三個(gè)未知數(shù)解不出來具體的數(shù)值，但是問題需要的是2(x+y+z)的值，可以考慮配系數(shù)，第一個(gè)方程乘以3、第二個(gè)方程乘以2之后二者相減，剛好得到x+y+z=44，所以2(x+y+z)=88。
(二)本題目問題需要的是2(x+y+z)的值，x、y、z具體數(shù)值不影響最終結(jié)果，可以使用賦值法令其中一個(gè)未知數(shù)x=0，此時(shí)解得：y=7，z=37，2(x+y+z)=88。選擇A。
從以上例題我們可以看出，這類不定方程一般需要我們求出整體的數(shù)值而不是具體未知數(shù)的數(shù)值，可以考慮配系數(shù)之后整體消去，得到題目中要求的答案;另外這類問題由于不要求未知數(shù)的具體數(shù)值，也可以考慮賦值法，令其中一個(gè)系數(shù)最為復(fù)雜的未知數(shù)的值為0，繼而求出其他的未知數(shù)得到最終答案。
綜上所述，考場上如果遇到不定方程問題，需要求未知數(shù)的具體數(shù)值時(shí)，考慮代入排除思想并結(jié)合數(shù)字性思想，包括奇偶特性、尾數(shù)特性以及整除特性;如果要求的是整體的數(shù)值，那么考慮配系數(shù)或者賦值法解題。希望各位考生仔細(xì)揣摩，在考試中取的好成績。
