2011浙江公考數(shù)學(xué)運(yùn)算難點(diǎn)擊破之"同余與剩余"

考試吧考后首發(fā)2011浙江公務(wù)員考試真題及答案

考試吧策劃：2011年浙江公務(wù)員考試備考專(zhuān)題

　　在整數(shù)的除法中，只有能整除與不能整除兩種情況。當(dāng)不能整除時(shí)，就產(chǎn)生余數(shù)。被除數(shù)(a)÷除數(shù)(b)=商(c)……余數(shù)(d)，其中a、b、c均為整數(shù)，d為自然數(shù)。其中，余數(shù)總是小于除數(shù)，即0≤d

　　一、同余

　　兩個(gè)整數(shù)a、b，若它們除以整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱(chēng)a、b對(duì)于m同余。

　　例如，3除以5的余數(shù)是3，18除以5的余數(shù)也是3，則稱(chēng)23與18對(duì)于5同余。

　　對(duì)于同一個(gè)除數(shù)m，兩個(gè)數(shù)和的余數(shù)與余數(shù)的和同余，兩個(gè)數(shù)差的余數(shù)與余數(shù)的差同余，兩個(gè)數(shù)積的余數(shù)與余數(shù)的積同余。

　　例如，15除以7的余數(shù)是1，18除以7的余數(shù)是4

　　15+18=33，1+4=5，則33除以7的余數(shù)與5同余

　　18-15=3，4-1=3，則3除以7的余數(shù)與3同余

　　15×18=270，1×4=4，則270除以7的余數(shù)與4同余

　　【例題】

　　a除以5余1，b除以5余4，如果3a>b，那么3a-b除以5余幾?

　　A.0 B.1 C.3 D.4

　　【思路點(diǎn)撥】此題為很明顯的余數(shù)問(wèn)題，因此可以直接利用同余的性質(zhì)解出問(wèn)題。

　　【解析】a除以5余1，則3a除以5余3 (兩個(gè)數(shù)積的余數(shù)與余數(shù)的積同余)

　　b除以5余4，則3a-b除以5余-1 (兩個(gè)數(shù)差的余數(shù)與余數(shù)的差同余)

　　因?yàn)橛鄶?shù)大于0而小于除數(shù)，-1+5=4，故所求余數(shù)為4。

　　所以正確答案為D。

　　二、剩余

　　在我國(guó)古代算書(shū)《孫子算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何?”意思是，一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，問(wèn)這個(gè)數(shù)最小是多少?這類(lèi)問(wèn)題在我國(guó)稱(chēng)為“孫子問(wèn)題”，也稱(chēng)為剩余問(wèn)題。關(guān)于這一問(wèn)題的解法，國(guó)際上稱(chēng)為“中國(guó)剩余定理”。

　　以此題為例，下面中公教育專(zhuān)家為大家介紹一種常規(guī)的解題方法。

　　我們首先需要先求出三個(gè)數(shù)：

　　第一個(gè)數(shù)能同時(shí)被3和5整除，但除以7余1，即15;

　　第二個(gè)數(shù)能同時(shí)被3和7整除，但除以5余1，即21;

　　第三個(gè)數(shù)能同時(shí)被5和7整除，但除以3余1，即70;

　　然后將這三個(gè)數(shù)分別乘以被7、5、3除的余數(shù)再相加，即：15×2+21×3+70×2=233。

　　最后，再減去3、5、7最小公倍數(shù)的若干倍，即：233-105×2=23。

　　【例題】

　　一個(gè)三位數(shù)除以9余7，除以5余2，除以4余3，這樣的三位數(shù)共有：

　　A.5個(gè) B.6個(gè) C.7個(gè) D.8個(gè)

　　【思路點(diǎn)撥】此題為剩余問(wèn)題。此題要求的是滿(mǎn)足條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)，我們應(yīng)該首先求出滿(mǎn)足條件的最小自然數(shù)，然后加上4、5、9的最小公倍數(shù)的若干倍，使之成為三位數(shù)即可。

　　【解析】首先看后兩個(gè)條件，很容易看出7是滿(mǎn)足條件的最小的自然數(shù)，而7正好也滿(mǎn)足第一個(gè)條件。4、5、9的最小公倍數(shù)為180，因此滿(mǎn)足條件的三位數(shù)形式為7+180n，n為自然數(shù)，要使7+180n為三位數(shù)，則n=1、2、3、4、5，滿(mǎn)足條件的三位數(shù)有5個(gè)。所以正確答案為A。