公務(wù)員考試《行測(cè)》數(shù)學(xué)運(yùn)算之不定方程解析

　　近幾年的公務(wù)員行測(cè)考試中，對(duì)于不定方程的應(yīng)用比較多，從出題慣性上來說是比較熱門的，但是由于不定方程的求解本身極具科研價(jià)值，所以對(duì)于不定方程的考察不可能傾向于學(xué)術(shù)性的考察，但是對(duì)于不定方程基本性質(zhì)的考察卻是出題的熱點(diǎn)。

　　一、不定方程的概念

　　首先我們需要說明一下什么是不定方程，從最基本的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，我們知道方程可解，是一個(gè)方程組對(duì)應(yīng)一個(gè)方程解，但是這里是需要滿足一定的條件，這里的條件就是未知數(shù)的個(gè)數(shù)要等于方程的個(gè)數(shù)。比如：x=3。這里是一個(gè)未知數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)方程，方程只有一個(gè)確定的解，即x=3。

　　再進(jìn)一步延伸可以得到，對(duì)于方程組x+y=2，x-y=1。兩個(gè)未知數(shù)對(duì)應(yīng)兩個(gè)方程，我們都可以得到一個(gè)確定的解，而且解只有一個(gè)。但是，當(dāng)未知數(shù)的個(gè)數(shù)多余方程的個(gè)數(shù)的時(shí)候，我們得到的方程就是不定方程。比如：x+y=2，兩個(gè)位置數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)方程。對(duì)于這個(gè)不定方程的解，我們可以得到：x=0，y=2;x=1，y=1;x=2，y=0;……其解得個(gè)數(shù)在不限制其他條件的情況下是無限多的，這就是不定方程最基本的性質(zhì)。

　　二、不定方程的應(yīng)用情況

　　1、首先是來源于“雞兔同籠”方程組的應(yīng)用，即二元一次方程。

　　【例1】裝某種產(chǎn)品的盒子有大、小兩種，大盒每盒能裝11個(gè)，小盒每盒能裝8個(gè)，要把89個(gè)產(chǎn)品裝入盒內(nèi)，要求每個(gè)盒子都恰好裝滿，需要大、小盒子各多少個(gè)( )?(情況1的普通應(yīng)用)

　　A. 3，7　　　B. 4，6　　　C. 5，4　　　D. 6，3

　　在這個(gè)題目中，我們求解時(shí)首先必然是列方程，設(shè)大、小盒子的個(gè)數(shù)各為x，y。則有，11x+8y=89。有且僅有這樣一個(gè)方程，而這一個(gè)方程就是不定方程，由不定方程的性質(zhì)我們可以知道，其解得個(gè)數(shù)可以是無限多的，但是由于這里盒子的個(gè)數(shù)應(yīng)該是整數(shù)，故其解應(yīng)該是比較確定的值，但是依然無法直接求解，故此類不定方程我們采用帶入排除的方式進(jìn)行解題。答案只有A滿足。

　　【例2】工人甲一分鐘可生產(chǎn)螺絲3個(gè)或螺絲帽9個(gè)，工人乙一分鐘可生產(chǎn)螺絲2個(gè)或螺絲帽7個(gè)，現(xiàn)在兩人各花20分鐘，共生產(chǎn)螺絲和螺絲帽134個(gè)，問生產(chǎn)的螺絲比螺絲帽多幾個(gè)?( )(情況1的復(fù)雜應(yīng)用)

　　A. 34個(gè) B. 32個(gè)

　　C. 30個(gè) D. 28個(gè)

　　此題當(dāng)中，我們可以首先假設(shè)甲、乙兩人20分鐘生產(chǎn)的都是螺絲，則一共可生產(chǎn)(3+2)×20=100個(gè)， 但是螺絲和螺絲帽共生產(chǎn)了134個(gè)，相差的34個(gè)零件一定是因?yàn)樽雎萁z帽多出來的，而甲做一分鐘螺絲帽可以多生產(chǎn)出9-3=6個(gè)零件，乙做一分鐘螺絲帽可以多生產(chǎn)出7-2=5個(gè)零件。設(shè)甲、乙分別生產(chǎn)了x、y分鐘螺絲帽，則有6x+5y=34，x只能取4，則y=2，所以甲乙共生產(chǎn)螺絲帽4×9+2×7=50個(gè)，螺絲134-50=84個(gè)，螺絲比螺絲帽多34個(gè)。所以選A。

　　這類題目當(dāng)中，需要我們得到不定方程的整數(shù)解而不是所有解，對(duì)于解的限制我們可以得到一個(gè)確定的解。

　　2、不定方程類的問題再進(jìn)一步的推廣，有下面3元一次方程組的應(yīng)用。

　　【例1】甲買了3支簽字筆、7支圓珠筆和1支鉛筆，共花了32元，乙買了4支同樣的簽字筆、10支圓珠筆和1支鉛筆，共花了43元。如果同樣的簽字筆、圓珠筆、鉛筆各買一支，共用多少錢( )

　　A.10元 B.11元 C.17元 D.21元

　　在這個(gè)題目當(dāng)中，我們可設(shè)簽字筆、圓珠筆、鉛筆的錢數(shù)各為x、y、z，列方程可以得到，3x+7y+z=32， 4x+10y+z=43。 我們要求x+y+z=?，但是所列方程組為3個(gè)未知數(shù)，2個(gè)方程，是一個(gè)不定方程組，其解得個(gè)數(shù)是無限多的，但是由不定方程組的性質(zhì)我們可以知道，不定方程組的任意一組解都滿足x+y+z=?這個(gè)等式，故我們只需要得到此方程組的一個(gè)特解就可以，可以令y=0，則有3x+z=32， 4x+z=43。解得x=11，z=-1，則有x+y+z=10，故該題答案選A。

　　對(duì)于不定方程類問題的考察，近年來再公務(wù)員考試中趨向于逐漸復(fù)雜化，因此對(duì)于不定方程的學(xué)習(xí)和練習(xí)要進(jìn)行系統(tǒng)總結(jié)，并強(qiáng)化提高。