近幾年的公務(wù)員行測考試中,對于不定方程的應(yīng)用比較多,從出題慣性上來說是比較熱門的,但是由于不定方程的求解本身極具科研價(jià)值,所以對于不定方程的考察不可能傾向于學(xué)術(shù)性的考察,但是對于不定方程基本性質(zhì)的考察卻是出題的熱點(diǎn)。
一、不定方程的概念
首先我們需要說明一下什么是不定方程,從最基本的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)出發(fā),我們知道方程可解,是一個方程組對應(yīng)一個方程解,但是這里是需要滿足一定的條件,這里的條件就是未知數(shù)的個數(shù)要等于方程的個數(shù)。比如:x=3。這里是一個未知數(shù)對應(yīng)一個方程,方程只有一個確定的解,即x=3。
再進(jìn)一步延伸可以得到,對于方程組x+y=2,x-y=1。兩個未知數(shù)對應(yīng)兩個方程,我們都可以得到一個確定的解,而且解只有一個。但是,當(dāng)未知數(shù)的個數(shù)多余方程的個數(shù)的時候,我們得到的方程就是不定方程。比如:x+y=2,兩個位置數(shù)對應(yīng)一個方程。對于這個不定方程的解,我們可以得到:x=0,y=2;x=1,y=1;x=2,y=0;……其解得個數(shù)在不限制其他條件的情況下是無限多的,這就是不定方程最基本的性質(zhì)。
二、不定方程的應(yīng)用情況
1、首先是來源于“雞兔同籠”方程組的應(yīng)用,即二元一次方程。
【例1】裝某種產(chǎn)品的盒子有大、小兩種,大盒每盒能裝11個,小盒每盒能裝8個,要把89個產(chǎn)品裝入盒內(nèi),要求每個盒子都恰好裝滿,需要大、小盒子各多少個( )?(情況1的普通應(yīng)用)
A. 3,7 B. 4,6 C. 5,4 D. 6,3
在這個題目中,我們求解時首先必然是列方程,設(shè)大、小盒子的個數(shù)各為x,y。則有,11x+8y=89。有且僅有這樣一個方程,而這一個方程就是不定方程,由不定方程的性質(zhì)我們可以知道,其解得個數(shù)可以是無限多的,但是由于這里盒子的個數(shù)應(yīng)該是整數(shù),故其解應(yīng)該是比較確定的值,但是依然無法直接求解,故此類不定方程我們采用帶入排除的方式進(jìn)行解題。答案只有A滿足。
【例2】工人甲一分鐘可生產(chǎn)螺絲3個或螺絲帽9個,工人乙一分鐘可生產(chǎn)螺絲2個或螺絲帽7個,現(xiàn)在兩人各花20分鐘,共生產(chǎn)螺絲和螺絲帽134個,問生產(chǎn)的螺絲比螺絲帽多幾個?( )(情況1的復(fù)雜應(yīng)用)
A. 34個 B. 32個
C. 30個 D. 28個
此題當(dāng)中,我們可以首先假設(shè)甲、乙兩人20分鐘生產(chǎn)的都是螺絲,則一共可生產(chǎn)(3+2)×20=100個, 但是螺絲和螺絲帽共生產(chǎn)了134個,相差的34個零件一定是因?yàn)樽雎萁z帽多出來的,而甲做一分鐘螺絲帽可以多生產(chǎn)出9-3=6個零件,乙做一分鐘螺絲帽可以多生產(chǎn)出7-2=5個零件。設(shè)甲、乙分別生產(chǎn)了x、y分鐘螺絲帽,則有6x+5y=34,x只能取4,則y=2,所以甲乙共生產(chǎn)螺絲帽4×9+2×7=50個,螺絲134-50=84個,螺絲比螺絲帽多34個。所以選A。
這類題目當(dāng)中,需要我們得到不定方程的整數(shù)解而不是所有解,對于解的限制我們可以得到一個確定的解。
2、不定方程類的問題再進(jìn)一步的推廣,有下面3元一次方程組的應(yīng)用。
【例1】甲買了3支簽字筆、7支圓珠筆和1支鉛筆,共花了32元,乙買了4支同樣的簽字筆、10支圓珠筆和1支鉛筆,共花了43元。如果同樣的簽字筆、圓珠筆、鉛筆各買一支,共用多少錢( )
A.10元 B.11元 C.17元 D.21元
在這個題目當(dāng)中,我們可設(shè)簽字筆、圓珠筆、鉛筆的錢數(shù)各為x、y、z,列方程可以得到,3x+7y+z=32, 4x+10y+z=43。 我們要求x+y+z=?,但是所列方程組為3個未知數(shù),2個方程,是一個不定方程組,其解得個數(shù)是無限多的,但是由不定方程組的性質(zhì)我們可以知道,不定方程組的任意一組解都滿足x+y+z=?這個等式,故我們只需要得到此方程組的一個特解就可以,可以令y=0,則有3x+z=32, 4x+z=43。解得x=11,z=-1,則有x+y+z=10,故該題答案選A。
對于不定方程類問題的考察,近年來再公務(wù)員考試中趨向于逐漸復(fù)雜化,因此對于不定方程的學(xué)習(xí)和練習(xí)要進(jìn)行系統(tǒng)總結(jié),并強(qiáng)化提高。
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