隔板模型是排列組合中，常見(jiàn)的模型之一，解決這類問(wèn)題并不難，只要記住隔板模型公式，大多數(shù)題都能迎刃而解。
一.隔板模型：
將n個(gè)相同的元素，分給m個(gè)不同對(duì)象，每個(gè)對(duì)象至少分1個(gè)，有多種不同情況。
例：將7個(gè)相同的蘋果，分給3個(gè)小朋友，每人至少分一個(gè)，必須分完，一共有多少種不同情況?
解析：這個(gè)題7個(gè)相同的蘋果，分給3個(gè)小朋友，每人至少一個(gè)，是完全符合隔板模型的情況的，這個(gè)題用排列組合去做，難點(diǎn)是蘋果是相同的，所以不能用常規(guī)的方法去做，我們現(xiàn)將7個(gè)相同蘋果排在一排，由于是相同元素，所以就只有這一種情況，
7個(gè)蘋果排一排，會(huì)產(chǎn)生8個(gè)空，我們插入2個(gè)隔板就可以將7個(gè)蘋果分成3組，當(dāng)然關(guān)注到每人至少一個(gè)，所以插入隔板不能頭和尾的空插入，所以只有中間6個(gè)空可以插入，6個(gè)空中選2個(gè)空插入隔板為C(2,6)=15種，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)m個(gè)元素，產(chǎn)生能插入的m-1個(gè)空，分給n個(gè)對(duì)象，只需用n-1個(gè)隔板去隔，所以總結(jié)出隔板模型公式C(n-1,m-1)。
二.公式
C(n-1,m-1)
三.條件
1.必須是相同元素，分給不同對(duì)象
2.必須分完不能有剩余
3.必須每人至少分得1個(gè)
四.變式：
有些題不滿足隔板模型的3個(gè)條件，但是也能用隔板模型來(lái)做，那么我們?cè)趺慈プ瞿?
方法：想辦法轉(zhuǎn)換為滿足標(biāo)準(zhǔn)隔板模型3個(gè)條件的題。
例1:10個(gè)相同的投影儀，分給3個(gè)不同的教學(xué)部，每個(gè)教學(xué)部至少分得2臺(tái)，必須分完，一共有多少種情況?
A.12 B.15 C.20 D.24
答案【B】解析：10個(gè)相同投影儀滿，分給3個(gè)不同教學(xué)部滿足，條件1，必須分完，滿足條件2，每個(gè)教學(xué)部至少分得2臺(tái)，不滿足條件3，我們?nèi)绻總�(gè)教學(xué)部先分1臺(tái)投影儀，還剩7臺(tái)，剩下7臺(tái)每個(gè)教學(xué)部至少分得1臺(tái)，那么加上之前分得的1臺(tái)，每個(gè)教學(xué)部就至少分得2臺(tái)了，所以后面7臺(tái)，每個(gè)教學(xué)部至少分得1臺(tái)，就滿足隔板模型3個(gè)條件，則結(jié)果為C(2,6)=15, 故選B選項(xiàng)。
例2：9個(gè)相同的小球，放入編號(hào)分別為1、2、3的盒子的，必須放完，每個(gè)盒子放的小球個(gè)數(shù)不低于它的編號(hào)，一共有多少種情況?
A.8 B.10 C.12 D.15
答案【B】解析：9個(gè)相同的小球，放入編號(hào)為1、2、3的盒子，滿足條件1，必須放完，滿足條件2，每個(gè)盒子放的小球書不低于它的編號(hào)，不滿足條件3，如果我們先給編號(hào)1的盒子，不放入小球，編號(hào)為2的盒子，先放入1個(gè)小球，編號(hào)為3的盒子，先放入2個(gè)小球，還剩6個(gè)小球，每個(gè)盒子至少放1個(gè)小球，就能滿足標(biāo)準(zhǔn)隔板模型的3個(gè)條件，所以結(jié)果為C(2,5)=10，故選B選項(xiàng)。
例3:現(xiàn)在張老師有8本相同的筆記本，分給3個(gè)學(xué)生，必須分完，但是張老師暫時(shí)沒(méi)想到怎么分，那么一共有多少種分的情況數(shù)。
A.28 B.32 C.45 D.50
答案【C】解析：8本相同的筆記本，分給3個(gè)學(xué)生，滿足條件1，必須分完，滿足條件2，沒(méi)告訴每人至少1本，說(shuō)明有人可以分得0本筆記本，不滿足條件3，如果我們先向每個(gè)學(xué)生各“借”一本筆記本，那么就一共有11本了，再分給3個(gè)學(xué)生，每人至少1本，可以保證借的一定能還上，那么就滿足標(biāo)準(zhǔn)隔板模型的3個(gè)條件，此時(shí)結(jié)果為C(2,10)=45。
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