排列組合問題一直以來是我們公考喜歡考察的知識(shí)點(diǎn)，通常聯(lián)系生活實(shí)際，但是題型多樣，思路靈活，不易掌握，是眾多考生的頭疼之處。下面就其中一種模型進(jìn)行說明。
【題目】:把n個(gè)相同元素分給m個(gè)不同的對(duì)象，每個(gè)對(duì)象至少 1 個(gè)元素，問有多少種不同分法的問題
【條件】:隔板模型適用前提相當(dāng)嚴(yán)格，必須同時(shí)滿足以下 3 個(gè)條件：
(1)n個(gè)相同元素;
(2)m個(gè)不同對(duì)象;
(3)每個(gè)對(duì)象至少分到 1 個(gè)。
【本質(zhì)】:同素分堆。
【公式】：C(m-1,n-1)
例題：
10個(gè)相同的蘋果分給3個(gè)不同小朋友，每個(gè)小朋友至少分一個(gè)蘋果，問有多少種不同的分法。
將上面的10個(gè)蘋果分成3份，只需要往上面的10個(gè)蘋果形成的空隙中插入2塊板子就可以分成3堆，但是需要注意的是，不可以在開頭或者結(jié)尾的空檔中加入隔板(如果在開頭加入的話就表明第一個(gè)小朋友沒有分到蘋果，而如果在最后一個(gè)空加隔板則表明，最后一個(gè)小朋友沒有分到蘋果)，同時(shí)也不能在中間的同一個(gè)空檔加入2個(gè)隔板(這樣的情況表明第二個(gè)小朋友沒有分到蘋果)。所以，這種題型的解法就是，在10個(gè)蘋果形成的9個(gè)空隙中間插入2個(gè)隔板，一共的方法有C(3-1,10-1)=C(2,9)種方法。
當(dāng)然公考不只考察這一種模型，可能還會(huì)有各種變形，但是無論怎么變形，核心都是構(gòu)造“至少分一”的標(biāo)準(zhǔn)模型。
【變形1】n 個(gè)相同元素分成 m 份，每份數(shù)量不定。
例1：將 15個(gè)完全相同的小球放到4個(gè)編號(hào)分別為 1、2、3、4 的盒子中，要求每個(gè)盒子中放的球數(shù)不少于自身的編號(hào)，則一共有多少種方法?
A.54 B.55 C.56 D.57
【答案】C
【解析】此題中沒有要求每個(gè)盒子中至少放一個(gè)球，而是1號(hào)盒子至少一個(gè)，2號(hào)盒子至少2個(gè)，3號(hào)盒子至少3個(gè)，4號(hào)盒子至少4個(gè)小球。因此首先需要做的是把這樣復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成“ n 個(gè)相同元素分給m個(gè)不同對(duì)象，每人至少 分1 個(gè)元素，問有多少種不同分法”的問題。故分兩步進(jìn)行，第一步先給 2 號(hào)盒子1個(gè)球，3 號(hào)盒子給2個(gè)球，4號(hào)盒子給3個(gè)球，第二部就將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成了“9個(gè)相同的小球，分給4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球”的標(biāo)準(zhǔn)模型，方法數(shù)為C(4-1,9-1)=C(3,8)，則共有56種放法。
【變形2】n 個(gè)相同元素分成 m 份，至少分多個(gè)元素。
例2:：30份報(bào)紙分給3家不同的單位，每家至少8份，問有多少種不同的分配方法?
A. 27 B.28 C. 29 D.30
【答案】B
【解析】要構(gòu)造“至少分一”，那么先給每家單位7份，這時(shí)題目便轉(zhuǎn)化成了“9份相同的報(bào)紙分給不同的3家單位，每家至少分一”，有C(3-1,9-1)=C(2,8)=28。
【變形3】n 個(gè)相同元素分成 m 份，隨意分，分完即可。
例3：王老師要將20個(gè)一模一樣的筆記本分給3個(gè)不同的學(xué)生， 任意分，分完即可，有多少種不同的方法?
A.190 B.231 C.680 D.1140
【答案】B。
【解析】這道題中說“隨意分，分完即可”即每個(gè)盒子可以為空，即至少0個(gè)，不能直接用標(biāo)準(zhǔn)隔模型來做，因此首先需要做的是轉(zhuǎn)化成把“ n 個(gè)相同元素分給m個(gè)不同對(duì)象，每人至少分1”的問題。故分兩步進(jìn)行，第一步先向每個(gè)人借1個(gè)相同的本子;第二步，將此題轉(zhuǎn)化“將 23 本相同的書分給3個(gè)不同的學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本”的標(biāo)準(zhǔn)模型，則有C(3-1,23-1)=C(2,22)=231種。
考試吧認(rèn)為，備考有效方法是題型與解法歸類、識(shí)別模式、熟練運(yùn)用。要破解隔板模型的排列組合題，關(guān)鍵就是在于理解題目含義，找到題干的變形條件將之進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，從而與標(biāo)準(zhǔn)模型對(duì)應(yīng)起來，根據(jù)公式快速求解!
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