2016中考數(shù)學(xué)備考專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)(2)：矩形菱形

　　9. (2014•江蘇徐州,第7題3分)若順次連接四邊形的各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，則該四邊形一定是(　　)

　　A.矩形 B. 等腰梯形

　　C.對(duì)角線相等的四邊形 D. 對(duì)角線互相垂直的四邊形

　　考點(diǎn)： 中點(diǎn)四邊形.

　　分析： 首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由四邊形EFGH是菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是邊AD，AB，BC，CD的中點(diǎn)，利用三角形中位線的性質(zhì)與菱形的性質(zhì)，即可判定原四邊形一定是對(duì)角線相等的四邊形.

　　解答： 解：如圖，根據(jù)題意得：四邊形EFGH是菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是邊AD，AB，BC，CD的中點(diǎn)，

　　∴EF=FG=CH=EH，BD=2EF，AC=2FG，

　　∴BD=AC.

　　∴原四邊形一定是對(duì)角線相等的四邊形.

　　故選C.

　　點(diǎn)評(píng)： 此題考查了菱形的性質(zhì)與三角形中位線的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

　　10. (2014•山東淄博,第9題4分)如圖，ABCD是正方形場(chǎng)地，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，AE與BC相交于點(diǎn)F.有甲、乙、丙三名同學(xué)同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，甲沿著A﹣B﹣F﹣C的路徑行走至C，乙沿著A﹣F﹣E﹣C﹣D的路徑行走至D，丙沿著A﹣F﹣C﹣D的路徑行走至D.若三名同學(xué)行走的速度都相同，則他們到達(dá)各自的目的地的先后順序(由先至后)是(　　)

　　A. 甲乙丙 B. 甲丙乙 C. 乙丙甲 D. 丙甲乙

　　考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì);線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短;比較線段的長(zhǎng)短.

　　分析： 根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ECF，根據(jù)直角三角形得出AF>AB，EF>CF，分別求出甲、乙、丙行走的距離，再比較即可.

　　解答： 解：∵四邊形ABCD是正方形，

　　∴AB=BC=CD=AD，∠B=90°，

　　甲行走的距離是AB+BF+CF=AB+BC=2AB;

　　乙行走的距離是AF+EF+EC+CD;

　　丙行走的距離是AF+FC+CD，

　　∵∠B=∠ECF=90°，

　　∴AF>AB，EF>CF，

　　∴AF+FC+CD>2AB，AF+FC+CD

　　∴甲比丙先到，丙比乙先到，

　　即順序是甲丙乙，

　　故選B.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，題目比較典型，難度適中.

　　11.(2014•福建福州,第9題4分)如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE. AC，BE相交于點(diǎn)F，則∠BFC為【 】

　　A.45°　 　 B.55°　 　 C.60°　 　 D.75°

　　12.(2014•甘肅蘭州,第7題4分)下列命題中正確的是(　　)

　　A. 有一組鄰邊相等的四邊形是菱形

　　B. 有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形

　　C. 對(duì)角線垂直的平行四邊形是正方形

　　D. 一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形

　　考點(diǎn)： 命題與定理.

　　分析： 利用特殊四邊形的判定定理對(duì)個(gè)選項(xiàng)逐一判斷后即可得到正確的選項(xiàng).

　　解答： 解：A、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤;

　　B、正確;

　　C、對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤;

　　D、兩組對(duì)邊平行的四邊形才是平行四邊形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.

　　故選B.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是牢記特殊的四邊形的判定定理，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

　　13.(2014•廣州,第8題3分)將四根長(zhǎng)度相等的細(xì)木條首尾相接，用釘子釘成四邊形 ，轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)四邊形，使它形狀改變，當(dāng) 時(shí)，如圖 ，測(cè)得 ，當(dāng) 時(shí)，如圖 ， ( ).

　　(A) (B)2 (C) (D)

　　圖2-① 圖2-②

　　【考點(diǎn)】正方形、有 內(nèi)角的菱形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的關(guān)系

　　【分析】由正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2可知正方形和菱形的邊長(zhǎng)為 ，當(dāng) =60°時(shí)，菱形較短的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)，故答案為 .

　　【答案】A

　　14.(2014•廣州,第10題3分)如圖3，四邊形 、 都是正方形，點(diǎn) 在線段 上，連接 ， 和 相交于點(diǎn) .設(shè) ， ( ).下列結(jié)論：① ;② ;③ ;④ .其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( ).

　　(A)4個(gè) (B)3個(gè) (C)2個(gè) (D)1個(gè)

　　【考點(diǎn)】三角形全等、相似三角形

　　【分析】①由 可證 ，故①正確;

　�、谘娱L(zhǎng)BG交DE于點(diǎn)H，由①可得 ， (對(duì)頂角)

　　∴ =90°，故②正確;

　�、塾� 可得 ，故③不正確;

　�、� ， 等于相似比的平方，即 ，

　　∴ ，故④正確.

　　【答案】B

　　15.(2014•畢節(jié)地區(qū)，第8題3分)如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BC相交于點(diǎn)O，H為AD邊中點(diǎn)，菱形ABCD的周長(zhǎng)為28，則OH的長(zhǎng)等于( )

　　A. 3.5 B. 4 C. 7 D. 14

　　考點(diǎn)： 菱形的性質(zhì);直角三角形斜邊上的中線;三角形中位線定理

　　分析： 根據(jù)菱形的四條邊都相等求出AB，菱形的對(duì)角線互相平分可得OB=OD，然后判斷出OH是△ABD的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得OH= AB.

　　解答： 解：∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為28，

　　∴AB=28÷4=7，OB=OD，

　　∵H為AD邊中點(diǎn)，

　　∴OH是△ABD的中位線，

　　∴OH= AB= ×7=3.5.

　　故選A.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查了菱形的對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.

　　16.(2014•襄陽(yáng)，第12題3分)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，且AE= AB，將矩形沿直線EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處，連接BP交EF于點(diǎn)Q，對(duì)于下列結(jié)論：①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等邊三角形.其中正確的是(　　)

　　A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④

　　考點(diǎn)： 翻折變換(折疊問(wèn)題);矩形的性質(zhì)

　　分析： 求出BE=2AE，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得PE=BE，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根據(jù)翻折的性質(zhì)求出∠BEF=60°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠EFB=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得EF=2BE，判斷出①正確;利用30°角的正切值求出PF= PE，判斷出②錯(cuò)誤;求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判斷出③錯(cuò)誤;求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等邊三角形，判斷出④正確.

　　解答： 解：∵AE= AB，

　　∴BE=2AE，

　　由翻折的性質(zhì)得，PE=BE，

　　∴∠APE=30°，

　　∴∠AEP=90°﹣30°=60°，

　　∴∠BEF= (180°﹣∠AEP)= (180°﹣60°)=60°，

　　∴∠EFB=90°﹣60°=30°，

　　∴EF=2BE，故①正確;

　　∵BE=PE，

　　∴EF=2PE，

　　∵EF>PF，

　　∴PF>2PE，故②錯(cuò)誤;

　　由翻折可知EF⊥PB，

　　∴∠EBQ=∠EFB=30°，

　　∴BE=2EQ，EF=2BE，

　　∴FQ=3EQ，故③錯(cuò)誤;

　　由翻折的性質(zhì)，∠EFB=∠BFP=30°，

　　∴∠BFP=30°+30°=60°，

　　∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，

　　∴∠PBF=∠PFB=60°，

　　∴△PBF是等邊三角形，故④正確;

　　綜上所述，結(jié)論正確的是①④.

　　故選D.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查了翻折變換的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，等邊三角形的判定，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

　　17.(2014•孝感，第9題3分)如圖，正方形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)D(5，3)在邊AB上，以C為中心，把△CDB旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′的坐標(biāo)是(　　)

　　A. (2，10) B. (﹣2，0) C. (2，10)或(﹣2，0) D. (10，2)或(﹣2，0)

　　考點(diǎn)： 坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

　　分析： 分順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種情況討論解答即可.

　　解答： 解：∵點(diǎn)D(5，3)在邊AB上，

　　∴BC=5，BD=5﹣3=2，

　�、偃繇槙r(shí)針旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)D′在x軸上，OD′=2，

　　所以，D′(﹣2，0)，

　　②若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)D′到x軸的距離為10，到y(tǒng)軸的距離為2，

　　所以，D′(2，10)，

　　綜上所述，點(diǎn)D′的坐標(biāo)為(2，10)或(﹣2，0).

　　故選C.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，正方形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于分情況討論.

　　18.(2014•臺(tái)灣，第12題3分)如圖，D為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，E、F兩點(diǎn)分別在AB、BC上，且四邊形DEBF為矩形，直線CD交AB于G點(diǎn).若CF=6，BF=9，AG=8，則△ADC的面積為何?(　　)

　　A.16 B.24 C.36 D.54

　　分析：由于△ADC=△AGC﹣△ADG，根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形的面積公式計(jì)算即可求解.

　　解：△ADC=△AGC﹣△ADG=12×AG×BC﹣12×AG×BF

　　=12×8×(6+9)﹣12×8×9=60﹣36=24.

　　故選：B.

　　點(diǎn)評(píng)：考查了三角形的面積和矩形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是活用三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算.

　　19.(2014•臺(tái)灣，第27題3分)如圖，矩形ABCD中，AD=3AB，O為AD中點(diǎn)，是半圓.甲、乙兩人想在上取一點(diǎn)P，使得△PBC的面積等于矩形ABCD的面積其作法如下：

　　(甲) 延長(zhǎng)BO交于P點(diǎn)，則P即為所求;

　　(乙) 以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于P點(diǎn)，則P即為所求.

　　對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確?(　　)

　　A.兩人皆正確 B.兩人皆錯(cuò)誤 C.甲正確，乙錯(cuò)誤 D.甲錯(cuò)誤，乙正確

　　分析：利用三角形的面積公式進(jìn)而得出需P甲H=P乙K=2AB，即可得出答案.

　　解：要使得△PBC的面積等于矩形ABCD的面積，

　　需P甲H=P乙K=2AB.

　　故兩人皆錯(cuò)誤.

　　故選：B.

　　點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形面積求法以及矩形的性質(zhì)，利用四邊形與三角形面積關(guān)系得出是解題關(guān)鍵.

　　20.(2014•浙江寧波，第6題4分)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是6和8，則此菱形的邊長(zhǎng)是( )

　　A. 10 B. 8 C. 6 D. 5

　　考點(diǎn)： 菱形的性質(zhì);勾股定理.

　　分析： 根據(jù)菱形的性質(zhì)及勾股定理即可求得菱形的邊長(zhǎng).

　　解答： 解：∵四邊形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，

　　∴OB=OD=3，OA=OC=4，AC⊥BD，

　　在Rt△AOB中，

　　由勾股定理得：AB= = =5，

　　即菱形ABCD的邊長(zhǎng)AB=BC=CD=AD=5，

　　故選D.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查了菱形的性質(zhì)和勾股定理，關(guān)鍵是求出OA、OB的長(zhǎng)，注意：菱形的對(duì)角線互相平分且垂直.

　　21.(2014•浙江寧波，第11題4分)如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中點(diǎn)，那么CH的長(zhǎng)是( )

　　A. 2.5 B.

　　C.

　　D. 2

　　考點(diǎn)： 直角三角形斜邊上的中線;勾股定理;勾股定理的逆定理.

　　分析： 連接AC、CF，根據(jù)正方形性質(zhì)求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可.

　　解答： 解：如圖，連接AC、CF，

　　∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，

　　∴AC= ，CF=3 ，

　　∠ACD=∠GCF=45°，

　　∴∠ACF=90°，

　　由勾股定理得，AF= = =2 ，

　　∵H是AF的中點(diǎn)，

　　∴CH= AF= ×2 = .

　　故選B.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵.

　　22.(2014•呼和浩特，第9題3分)已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為20cm，兩條對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線EF，分別交兩邊AD，BC于E，F(xiàn)(不與頂點(diǎn)重合)，則以下關(guān)于△CDE與△ABF判斷完全正確的一項(xiàng)為(　　)

　　A. △CDE與△ABF的周長(zhǎng)都等于10cm，但面積不一定相等

　　B. △CDE與△ABF全等，且周長(zhǎng)都為10cm

　　C. △CDE與△ABF全等，且周長(zhǎng)都為5cm

　　D. △CDE與△ABF全等，但它們的周長(zhǎng)和面積都不能確定

　　考點(diǎn)： 矩形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì).

　　分析： 根據(jù)矩形的性質(zhì)，AO=CO，由EF⊥AC，得EA=EC，則△CDE的周長(zhǎng)是矩形周長(zhǎng)的一半，再根據(jù)全等三角形的判定方法可求出△CDE與△ABF全等，進(jìn)而得到問(wèn)題答案.

　　解答： 解：∵AO=CO，EF⊥AC，

　　∴EF是AC的垂直平分線，

　　∴EA=EC，

　　∴△CDE的周長(zhǎng)=CD+DE+CE=CD+AD= 矩形ABCD的周長(zhǎng)=10cm，

　　同理可求出△ABF的周長(zhǎng)為10cm，

　　根據(jù)全等三角形的判定方法可知：△CDE與△ABF全等，

　　故選B.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查了矩形的對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，還考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法，題目的難度不大.

　　23. (2014•株洲，第7題，3分)已知四邊形ABCD是平行四邊形，再?gòu)蘑貯B=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個(gè)條件中，選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯(cuò)誤的是(　　)

　　A. 選①② B. 選②③ C. 選①③ D. 選②④

　　考點(diǎn)： 正方形的判定;平行四邊形的性質(zhì).

　　分析： 要判定是正方形，則需能判定它既是菱形又是矩形.

　　解答： 解：A、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由②得有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意;

　　B、由②得有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，由③得對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，所以不能得出平行四邊形ABCD是正方形，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意;

　　C、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由③得對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意;

　　D、由②得有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，由④得對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意.

　　故選B.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查了正方形的判定方法：

　�、傧扰卸ㄋ倪呅问蔷匦危�再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等;

　�、谙扰卸ㄋ倪呅问橇庑危�再判定這個(gè)矩形有一個(gè)角為直角.

　�、圻�可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定.

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