2016中考數學備考專項練習(2)：矩形菱形

　　一、選擇題

　　1. (2014•上海，第6題4分)如圖，已知AC、BD是菱形ABCD的對角線，那么下列結論一定正確的是(　　)

　　A. △ABD與△ABC的周長相等

　　B. △ABD與△ABC的面積相等

　　C. 菱形的周長等于兩條對角線之和的兩倍

　　D. 菱形的面積等于兩條對角線之積的兩倍

　　考點： 菱形的性質.

　　分析： 分別利用菱形的性質結合各選項進而求出即可.

　　解答： 解：A、∵四邊形ABCD是菱形，

　　∴AB=BC=AD，

　　∵AC

　　∴△ABD與△ABC的周長不相等，故此選項錯誤;

　　B、∵S△ABD=S平行四邊形ABCD，S△ABC=S平行四邊形ABCD，

　　∴△ABD與△ABC的面積相等，故此選項正確;

　　C、菱形的周長與兩條對角線之和不存在固定的數量關系，故此選項錯誤;

　　D、菱形的面積等于兩條對角線之積的，故此選項錯誤;

　　故選：B.

　　點評： 此題主要考查了菱形的性質應用，正確把握菱形的性質是解題關鍵.

　　2. (2014•山東棗莊，第7題3分)如圖，菱形ABCD的邊長為4，過點A、C作對角線AC的垂線，分別交CB和AD的延長線于點E、F，AE=3，則四邊形AECF的周長為( )

　　A. 22 B. 18 C. 14 D. 11

　　考點： 菱形的性質

　　分析： 根據菱形的對角線平分一組對角可得∠BAC=∠BCA，再根據等角的余角相等求出∠BAE=∠E，根據等角對等邊可得BE=AB，然后求出EC，同理可得AF，然后判斷出四邊形AECF是平行四邊形，再根據周長的定義列式計算即可得解.

　　解答： 解：在菱形ABCD中，∠BAC=∠BCA，

　　∵AE⊥AC，

　　∴∠BAC+∠BAE=∠BCA+∠E=90°，

　　∴∠BAE=∠E，

　　∴BE=AB=4，

　　∴EC=BE+BC=4+4=8，

　　同理可得AF=8，

　　∵AD∥BC，

　　∴四邊形AECF是平行四邊形，

　　∴四邊形AECF的周長=2(AE+EC)=2(3+8)=22.

　　故選A.

　　點評： 本題考查了菱形的對角線平分一組對角的性質，等角的余角相等的性質，平行四邊形的判定與性質，熟記性質并求出EC的長度是解題的關鍵.

　　3. (2014•山東煙臺，第6題3分)如圖，在菱形ABCD中，M，N分別在AB，CD上，且AM=CN，MN與AC交于點O，連接BO.若∠DAC=28°，則∠OBC的度數為(　　)

　　A. 28° B. 52° C. 62° D. 72°

　　考點：菱形的性質，全等三角形.

　　分析：根據菱形的性質以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，繼而可求得∠OBC的度數.

　　解答：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB∥CD，AB=BC，

　　∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，

　　在△AMO和△CNO中，∵ ，∴△AMO≌△CNO(ASA)，

　　∴AO=CO，∵AB=BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC=90°，∵∠DAC=28°，

　　∴∠BCA=∠DAC=28°，∴∠OBC=90°﹣28°=62°.故選C.

　　點評： 本題考查了菱形的性質和全等三角形的判定和性質，注意掌握菱形對邊平行以及對角線相互垂直的性質.

　　4.(2014•山東聊城，第9題，3分)如圖，在矩形ABCD中，邊AB的長為3，點E，F分別在AD，BC上，連接BE，DF，EF，BD.若四邊形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，則邊BC的長為(　　)

　　A. 2 B. 3 C. 6 D.

　　考點： 矩形的性質;菱形的性質.

　　分析： 根據矩形的性質和菱形的性質得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，因為四邊形BEDF是菱形，所以BE，AE可求出進而可求出BC的長.

　　解答： 解：∵四邊形ABCD是矩形，

　　∴∠A=90°，

　　即BA⊥BF，

　　∵四邊形BEDF是菱形，

　　∴EF⊥BD，∠EBO=∠DBF，

　　∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO，

　　∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，

　　∴BE= =2 ，

　　∴BF=BE=2 ，

　　∵EF=AE+FC，AE=CF，EO=FO

　　∴CF=AE= ，

　　∴BC=BF+CF=3 ，

　　故選B.

　　點評： 本題考查了矩形的性質、菱形的性質以及在直角三角形中30°角所對的直角邊時斜邊的一半，解題的關鍵是求出∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°.

　　5. (2014•浙江杭州，第5題，3分)下列命題中，正確的是(　　)

　　A. 梯形的對角線相等 B. 菱形的對角線不相等

　　C. 矩形的對角線不能相互垂直 D. 平行四邊形的對角線可以互相垂直

　　考點： 命題與定理.

　　專題： 常規(guī)題型.

　　分析： 根據等腰梯形的判定與性質對A進行判斷;根據菱形的性質對B進行判斷;根據矩形的性質對C進行判斷;根據平行四邊形的性質對D進行判斷.

　　解答： 解：A、等腰梯形的對角線相等，所以A選項錯誤;

　　B、菱形的對角線不一定相等，若相等，則菱形變?yōu)檎�方形，所以B選項錯誤;

　　C、矩形的對角線不一定相互垂直，若互相垂直，則矩形變?yōu)檎�方形，所以C選項錯誤;

　　D、平行四邊形的對角線可以互相垂直，此時平行四邊形變?yōu)榱庑�，所以D選項正確.

　　故選D.

　　點評： 本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式;有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理.

　　6.(2014年貴州黔東南10.(4分))如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，將矩形ABCD沿EF折疊，使點C與點A重合，則折痕EF的長為(　　)

　　A. 6 B. 12 C. 2 D. 4

　　考點： 翻折變換(折疊問題).

　　分析： 設BE=x，表示出CE=16﹣x，根據翻折的性質可得AE=CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x，再根據翻折的性質可得∠AEF=∠CEF，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠AFE=∠CEF，然后求出∠AEF=∠AFE，根據等角對等邊可得AE=AF，過點E作EH⊥AD于H，可得四邊形ABEH是矩形，根據矩形的性質求出EH、AH，然后求出FH，再利用勾股定理列式計算即可得解.

　　解答： 解：設BE=x，則CE=BC﹣BE=16﹣x，

　　∵沿EF翻折后點C與點A重合，

　　∴AE=CE=16﹣x，

　　在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，

　　即82+x2=(16﹣x)2，

　　解得x=6，

　　∴AE=16﹣6=10，

　　由翻折的性質得，∠AEF=∠CEF，

　　∵矩形ABCD的對邊AD∥BC，

　　∴∠AFE=∠CEF，

　　∴∠AEF=∠AFE，

　　∴AE=AF=10，

　　過點E作EH⊥AD于H，則四邊形ABEH是矩形，

　　∴EH=AB=8，

　　AH=BE=6，

　　∴FH=AF﹣AH=10﹣6=4，

　　在Rt△EFH中，EF= = =4 .

　　故選D.

　　點評： 本題考查了翻折變換的性質，矩形的判定與性質，勾股定理，熟記各性質并作利用勾股定理列方程求出BE的長度是解題的關鍵，也是本題的突破口.

　　7.(2014•遵義9.(3分))如圖，邊長為2的正方形ABCD中，P是CD的中點，連接AP并延長交BC的延長線于點F，作△CPF的外接圓⊙O，連接BP并延長交⊙O于點E，連接EF，則EF的長為(　　)

　　A. B. C. D.

　　考點： 相似三角形的判定與性質;正方形的性質;圓周角定理

　　分析： 先求出CP、BF長，根據勾股定理求出BP，根據相似得出比例式，即可求出答案.

　　解答： 解：∵四邊形ABCD是正方形，

　　∴∠ABC=∠PCF=90°，CD∥AB，

　　∵F為CD的中點，CD=AB=BC=2，

　　∴CP=1，

　　∵PC∥AB，

　　∴△FCP∽△FBA，

　　∴ = =，

　　∴BF=4，

　　∴CF=4﹣2=2，

　　由勾股定理得：BP= = ，

　　∵四邊形ABCD是正方形，

　　∴∠BCP=∠PCF=90°，

　　∴PF是直徑，

　　∴∠E=90°=∠BCP，

　　∵∠PBC=∠EBF，

　　∴△BCP∽△BEF，

　　∴ = ，

　　∴ = ，

　　∴EF= ，

　　故選D.

　　點評： 本題考查了正方形的性質，圓周角定理，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力和計算能力，題目比較好，難度適中.

　　8.(2014•十堰9.(3分))如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足為點E，連接AC交DE于點F，點G為AF的中點，∠ACD=2∠ACB.若DG=3，EC=1，則DE的長為(　　)

　　A. 2 B. C. 2 D.

　　考點： 勾股定理;等腰三角形的判定與性質;直角三角形斜邊上的中線.

　　分析： 根據直角三角形斜邊上的中線的性質可得DG=AG，根據等腰三角形的性質可得∠GAD=∠GDA，根據三角形外角的性質可得∠CGD=2∠GAD，再根據平行線的性質和等量關系可得∠ACD=∠CGD，根據等腰三角形的性質可得CD=DG，再根據勾股定理即可求解.

　　解答： 解：∵AD∥BC，DE⊥BC，

　　∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB

　　∵點G為AF的中點，

　　∴DG=AG，

　　∴∠GAD=∠GDA，

　　∴∠CGD=2∠CAD，

　　∵∠ACD=2∠ACB，

　　∴∠ACD=∠CGD，

　　∴CD=DG=3，

　　在Rt△CED中，DE= =2 .

　　故選：C.

　　點評： 綜合考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質和直角三角形斜邊上的中線，解題的關鍵是證明CD=DG=3.

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