海文名師王平點評2006年考研數(shù)學真題

　　主持人：下面我們邀請到海文學校的王平老師為各位網(wǎng)友點評考研數(shù)學。

　　王平：大家好，非常高興和大家交流一下有關今年的數(shù)學試卷情況。

　　主持人：現(xiàn)在跟我們說一線今年數(shù)學試卷的難度吧。

　　王平：從我們掌握的情況來看正如我們考前預測的情況一樣，《數(shù)學一》將會比去年略微簡單一些，《數(shù)學二》、《數(shù)學三》、《數(shù)學四》的水平和往年相當。從2005年的考試分析情況來看，國家命題方面還是非常希望能夠將平均分鎖定在50%的位置，而從2006年的考試實際情況來看，《數(shù)學一》的平均分差距較大，所以今年的題目略有簡單，但是《數(shù)學一》往往令考生難為頭疼總的來說也是最難的科目，這一點也不容忘記。

　　主持人：今年的卷面和往年比有什么變化嗎？

　　王平：從考研數(shù)學的要求來看近年來基本上側重基礎、側重綜合為主，今年試卷來看我們以《數(shù)學一》為例，出現(xiàn)了歷年真題中較少出現(xiàn)的題型，但實際上題目難度并未增加，只是角度略有不同。我們以今年《數(shù)學一》第15題為例，這道題是這兩年出現(xiàn)的較新的一種題型，在此之前有關二重積分這類的題目一般計算量較大、較為復雜，主要是考查考生的計算水平。而從去年出現(xiàn)了取整函數(shù)這樣的新型函數(shù)以后，今年這道題也有這樣的趨勢，但總的來說這是一道非�；�本的題型，嚴格屬于教學大綱之中的，難度與同濟大學教材課本的課后習題相一致。這里想問一下在座的考生，希望你們能積極的回答，您手頭是否能回憶起這樣題目。

　　由于數(shù)學考試的錄入的公式，較為復雜，廣大的網(wǎng)友現(xiàn)在不大容易回憶起題目，在這里我給大家做一些題目思路的點評。我們從數(shù)學一開始，第15題是一個基本的題目，剛才說過了�？梢圆捎玫霓k法是，用極坐標系表達。代入雅可比行列式后，其中有一部分由于它是極函數(shù)的積分，可為零。通過這樣的計算，計算量將較為簡單。在這里提醒廣大考生注意的是，在歷年的考試過程當中，詞類題目我們最應注意的是積分率的變化，去年的考題就是我們的進行分段的積分。

　　第16題，也是一個較為基礎題目。第一問讓證明極限的存在并求極限，這樣的題目我們看到的時候就應該想到，通常證明極限存在有幾種辦法，在大學考研的大綱的要求之中除了利用單調有限求極限另一種是利用夾擊的定理求極限，這道題非常像是用單調有界求極限，有了這樣的思路證起來就較為容易。

　　我們應該注意到，通過XN這個序列是遞減的，并有下界0，這樣就已經證明出來了。隨后的求極限也較為簡單，這里可以提示考生一個技巧，我們考研復習中并不提倡用技巧解決問題。但是有的時候題目的上下文會過多過少給予我們一些提示，比如說這個題的第二小問，“由于XN分值XN+1，在XN有極限的情況必然等于1，這樣如果極限如果能求出它的指數(shù)一定是無窮大，也就是說XN必然為0”，這就是題目給我們的暗示。當然對于這個題目而言這是不需要考慮的，它是可以證的，我們設極限sinA為A，可求出等于0。有了第一問的鋪墊，

　　第二問，有了前面的鋪墊后就是較為基本的運用羅必達法則求極限的問題，這里就不再多展開講解了，提示大家注意的一點是在書寫的過程之中，前面一問的結論最好在這里再引用一下，因為的1的無窮大次方是保證使用羅必達法則的充分條件。

　　第17題是一個較新型的題目，與前幾年有關極數(shù)知識點的熱點不同，前些年通常會考一些豎向極數(shù)的求和，這一道題目的展開，用到了一個基本變形。其實這是在數(shù)學中常見的一種變形，就是化有理分式，這在我們求不定積分和定積分分中都較為常見，而作為這樣一種題型，則屬比較少見。這就提醒著我們學數(shù)學的一個方法，千萬不要死記題型，解決數(shù)學問題的陣地就在于將復雜的問題簡單化。這道題就是將原來的方式轉化為兩個更基本的分式。由于錄入原因，這里不給大家念出。注意它的分母是一個非常容易因式分解的二次的多項式。轉化為基本的一次分式以后，可利用最基本的1/1-X和1/1+X的求合，這里跟大家強調一下一定要注意收斂域。

　　第18題，這是一個較為常見的題型。如在李永樂里全真模擬的四百題中常見這類題目蹤跡，這類題目的特點是較為復雜也教委綜合，綜合了復合函數(shù)的求導的鏈式法則，與微分方程的鏈式求解兩部分內容。這種題目看起來隨著比較嚇人，實際上考生也經常犯錯，相信很多的學生只要靜下心來，有足夠的時間是可以算對的。因為一般考生做這道題的時候都是學生做題時間最為緊張的時刻，因為一般就不會有充分的時間進行解答。這道題的思路也比較好找，首先是利用鏈式法則和已知關系式進行劃減，這樣的劃減比必將得到進一步證明的結論。也就是說結果第一問主要是通過鏈導法則。有了第一問的結論后，相信稍微有心一些復習的考生，解決第二問就不難了，第二問的微分方程有復合的方程，一個高次可降解的微分方程，還有一個變量可分離的奇次微分方程兩種。本題計算量在這次考試中，相對復雜。

　　第19題，從歷年情況來看第二型曲線曲面積分至少考一題，04年考了兩個題。今年這個題目與往年不大相同，不過因為它是微積分的最后一個題，屬于全卷的壓軸題，這樣的難度是相當合適的。個人認為和去年最后一個題相比，題目給予我們的提示性要稍強一些。解決這樣的問題如何思考呢？首先我們不能忽略這樣一點，就是裁。當看到題目的條件后，我們應該猜到一個能夠滿足這個條件的F、X，當然證明過程不能這樣寫，但是它往往會帶給我們一些提示，因為它的性質會給我們題目中的從抽象到更為具體的性質。要證明它任意分段光滑，曲線積分為零，利用格林公式來證明一個二級積分在定義域內處處為0。這里提示大家一點，已知條件可以做這樣的變形，可變形為T×T×F(Tx，Ty=Fxy)兩邊對T求導，可得到一個較為簡化的等式，該等式與格林公式辯證后的域證等式只差一個基本的換元。即使是這一步也有相當考生不大容易看的出來，這是一個數(shù)學基本功的問題了。

　　說到這里，點評完今天的高等數(shù)學以后，順便回答一下剛才幾位網(wǎng)友比較關心的問題，就是有關參考答案。有關參考答案，由于數(shù)學科目的特點，在這樣實時聊天的環(huán)境下，并不是最佳給出的時機，我們將在隨后在網(wǎng)上供給大家下載。

　　我們轉入下面一道題目，第20題，非奇次線性方程組，有關奇次與非奇次線性方程一直是線性代數(shù)的熱點，每年幾乎線性代數(shù)的兩道大題，一個是解線性方程另外一個是求特征值，當然去年有點例外，但是本質上是一樣的。這道題我們注意到說到三個線性無關解，由于是非奇次有一個特解，也就是它的基礎解析積為2，那么對于一個四元方程而言，他們的質也就是2了，對于求AB值以及方程組通解這樣的問題，就是非�；�本的計算了。

　　21題，這里發(fā)表這樣一個感想，線性代數(shù)這門課甚至說我們考研數(shù)學的準備過程中，有時候可以用較少的工具來解決很多的問題，頂多是較少工具用起來稍微笨拙一些，緩慢一些，就我解決問題而言對于線性方程是否有解的問題，我更習慣于初一時候學習的幾種方法，因為它印象最深，雖然算比較很慢，但是很穩(wěn)健。21題也是如此有兩個解項量還告訴你每行元素之和是3，如果做過題目的同學就會知道每行元素之和是3，必然有一個特征值是3，當然這個特征值是3可以利用特征行列式把行列式寫出做變換得到。

　　以這個題為例，比較弱的辦法就是這樣，將A每一行設為X1、X2、X3，利用X1+X2+X3=3以及兩個解項量可以得出X1、X2、X3的值，這樣可以非常迅速的解出A，A是一個全一矩陣，有了這樣的矩陣，其他的相似對角陣等都是非�；�本的課內功課了。

　　22題，從考前的一些傳言來看，認為概率會有所改變，普遍認為會在統(tǒng)計部分改變，但是從事實情況看是從概率論部分的題目變動較大，和往年略有不同。但是總的來說概率論與數(shù)理統(tǒng)計的考試難度同本與課本習題難度較為吻合，相信基礎復習比較扎實的同學，課本復習比較到位的同學都有比較好的思維，也相信有很多同學由于做卷時間不合理而痛失這樣的分數(shù)。我們每年都告訴同學先做線性代數(shù)與數(shù)理統(tǒng)計最后做高等數(shù)學。

　　這道題也是從《數(shù)學一》到《數(shù)學四》都考到的題目。

　　23題也體現(xiàn)了一個小小的技巧，計算X1、X2、X3之中小于1的個數(shù)N，我們可以直接用N=X1+X2+X3……+XN其中大N是等于1，n-N是大于等于1的，通過這樣就可以例出θ的N次冪×1-θn-N次冪，求解即可。

　　下面我們講一下經濟類數(shù)學題目，經濟類數(shù)學從歷年情況來看《數(shù)學三》、《數(shù)學四》重題較多，這里就帶給大家一部分�！稊�(shù)學三》和《數(shù)學四》的科目特點是題目較《數(shù)學一》復雜度有所降低，技巧度也較低，只要扎扎實實復習下來的人考試時往往有思路，但是做對做不對是另外一回事兒。這里挑幾道考生較頭疼的證明題帶給大家。

　　如《數(shù)學三》中的第17題，看到這樣的題目就應該很迅速的感受到它對你的提示，就是構造一個輔助函數(shù)。我們可以令FX=X×sinX×cosX+2sinX，其實寫到這一步，有自信的考生就會非常堅定的知道這道題已經拿滿全分了，后面只是書寫過程，這個sinX必定是一個求導數(shù)。由于初等函數(shù)我們不必考慮連續(xù)可導等充分條件，但是考生要注意有些考生考試中拿不到滿分往往是自己忽略一些重要的充分條件，論述邏輯不夠嚴密。提到這里，由于時間所限，特別提醒考生注意的一點是，考研數(shù)學估分是一件不大容易的事情，因為大題的給分、證明題的給分，往往和我們的預期有所偏差。在這樣的前提下，推薦大家估分稍微保守一些，這樣對自己更為負責。相信數(shù)學對于廣大考生來講都只是為了過線，那么我們可以共同祈禱分數(shù)線低一點兒，我們的分數(shù)高一點兒，祝各位考生都能夠取得很好的成績。