2010年考研數(shù)學階段復習小結(jié)之線性代數(shù)篇

隨著季節(jié)逐步進入炎炎夏日，考研復習也即將進入暑期的強化復習階段，關于前一階段的復習成果大家一定要做一個小小的總結(jié)，以便迅速、科學地制定和調(diào)整下一階段的復習計劃。關于考研數(shù)學的復習，今天萬學海文數(shù)學教研室總結(jié)一下有關線性代數(shù)的相關重點知識點，供大家參考。

概念多、定理多、符號多、運算規(guī)律多、內(nèi)容相互縱橫交錯，知識前后緊密聯(lián)系是線性代數(shù)課程的特點，故考生應充分理解概念，掌握定理的條件、結(jié)論、應用，熟悉符號意義，掌握各種運算規(guī)律、計算方法，并及時進行總結(jié)，抓聯(lián)系，使學知識能融會貫通，舉一反三，根據(jù)以前大綱的要求，這里再具體指出如下：

行列式的重點是計算，利用性質(zhì)熟練準確的計算出行列式的值。矩陣中除可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣等重要概念外，主要也是運算，其運算分兩個層次，一是矩陣的符號運算，二是具體矩陣的數(shù)值運算。例如在解矩陣方程中，首先進行矩陣的符號運算，將矩陣方程化簡，然后再代入數(shù)值，算出具體的結(jié)果，矩陣的求逆（包括簡單的分塊陣）（或抽象的，或具體的，或用定義，或是用公式A -1= 1 A*，或 A用初等行變換），A和A*的關系，矩陣乘積的行列式，方陣的冪等也是�？嫉膬�(nèi)容之一。

關于向量，證明（或判別）向量組的線性相關（無關），線性表出等問題的關鍵在于深刻理解線性相關（無關）的概念及幾個相關定理的掌握，并要注意推證過程中邏輯的正確性及反證法的使用。

向量組的極大無關組，等價向量組，向量組及矩陣的秩的概念，以及它們相互關系也是重點內(nèi)容之一。用初等行變換是求向量組的極大無關組及向量組和矩陣秩的有效方法。在Rn中，基、坐標、基變換公式，坐標變換公式，過渡矩陣，線性無關向量組的標準正交化公式，應該概念清楚，計算熟練，當然在計算中列出關系式后，應先化簡，后代入具體的數(shù)值進行計算。

行列式、矩陣、向量、方程組是線性代數(shù)的基本內(nèi)容，它們不是孤立隔裂的，而是相互滲透，緊密聯(lián)系的，例如∣A∣≠0〈===〉A是可逆陣〈= ==〉r（A）=n(滿秩陣)〈===〉A的列（行）向量組線性無關〈===〉AX=0唯一零解〈===〉AX=b對任何b均有（唯一）解〈===〉A=P1 P2 …PN，其中PI(I=1,2,…，N)是初等陣〈===〉r(AB)=r(B)<===>A初等行變換I〈===〉A的列（行）向量組是Rn的一個基〈===〉A可以是某兩個基之間的過渡矩陣等等。這種相互之間的聯(lián)系綜合命題創(chuàng)造了條件，故對考生而言，應該認真總結(jié)，開拓思路，善于分析，富于聯(lián)想使得對綜合的，有較多彎道的試題也能順利地到達彼岸。

關于特征值、特征向量。一是要會求特征值、特征向量，對具體給定的數(shù)值矩陣，一般用特征方程∣λE-A∣=0 及（λE-A）ξ=0即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關矩陣的特征值（的取值范圍），可用定義Aξ=λξ，同時還應注意特征值和特征向量的性質(zhì)及其應用，二是有關相似矩陣和相似對角化的問題，一般矩陣相似對角化的條件。實對稱矩陣的相似對角化及正交變換相似于對角陣，反過來，可由A 的特征值，特征向量來確不定期A的參數(shù)或確定A，如果A是實對稱陣，利用不同特征值對應的特征向量相互正交，有時還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2（λ2≠λ1）對應的特征向量，從而確定出A 。三是相似對角化以后的應用，在線性代數(shù)中至少可用來計算行列式及An。

將二次型表示成矩陣形式，用矩陣的方法研究二次型的問題主要有兩個：一是化二次型為標準形，這主要是正交變換法（這和實對稱陣正交相似對角陣是一個問題的兩種提法），在沒有其他要求的情況下，用配方法得到標準形可能更方便些；二是二次型的正定性問題，對具體的數(shù)值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來判別，而抽象的由給定矩陣的正定性，證明相關矩陣的正定性時，可利用標準形，規(guī)范形，特征值等到證明，這時應熟悉二次型正定有關的充分條件和必要條件。