名師鐵軍談數(shù)學沖刺復習

　　鐵軍：各位網(wǎng)友大家好，搜狐網(wǎng)站是我們國家最大的門戶網(wǎng)站之一，對教育事業(yè)特別是科研比較關(guān)注。 今天也非常高興來到直播間，和大家談一談今年考研復習的事情。謝謝大家。

　　主持人：首先請鐵軍老師針對目前的復習情況，給大家做一個整體的介紹？

　　鐵軍：好的。馬上在1月14號今年的考研就要開始了，各地的考生都在加緊備戰(zhàn)，從現(xiàn)在的復習的情況來看，各地學生復習的狀況比較好，但是也是面臨著一些問題。對于數(shù)學復習來說，有些同學現(xiàn)在感覺心里頭比較慌，主要是在做一些沖刺題和模擬題的過程中，發(fā)現(xiàn)還出現(xiàn)了一些不太熟悉的知識點和解題的效率、方法方面的一些問題，今天就想和大家在這方面談一談。

　　主持人：接下來看一下網(wǎng)友的具體問題。

　　網(wǎng)友：能不能講一下微積分的重點。

　　鐵軍：微積分的重點是比較固定的，我們在最后沖刺復習階段，我強調(diào)就是要抓大題放小題，也就是說要抓大放小，因為微積分在考研數(shù)學的試卷中占的分值和比例是最多的。微積分的重點有幾個地方可以出大題，一個就是未定式的邏輯用羅必達法則。再一個微分中值定理，可以做大的證明題。還有定積分的證明題，包括等式和不等式證明。定級分的幾何應用應該是數(shù)學一二三四復習的重點，應該出大題。數(shù)學一、數(shù)學二可以出定積分物理理論應用的大題。另外微積分在高等數(shù)學的下半部分有幾個特別重要的地方。二元符合函數(shù)求二階偏導數(shù)，這樣數(shù)學二三四正常都要出大題。數(shù)學二三四都要考二重積分的大題，多元函數(shù)它的條件極值和無條件極值也是大家復習的重點，數(shù)學一和數(shù)學三還要考察無窮極數(shù)，無窮極數(shù)求冪級數(shù)的何函數(shù)和把何函數(shù)展開成S的冪級數(shù)也是我們復習的重點。對數(shù)學限面積分應該特別地關(guān)注，應該一定要出大題的。

　　網(wǎng)友：我是數(shù)四的學生，已經(jīng)進行了兩遍的復習，典型的例題也研究過一遍了，這種情況下，我在最后沖刺階段應該做一些什么？

　　鐵軍：數(shù)學四是經(jīng)濟類的一章試卷，它每年試題的計算量不是很大，但是它的題型的特點和難度與數(shù)學一、二、三基本上是一致的。這樣的話要求我們數(shù)學四的考生在復習的最后階段，應該特別要重視題型的歸納和總結(jié)。題型的歸納和總結(jié)，如果數(shù)學四的真題這位同學如果復習很好的話，最好用一定的時間，把數(shù)學一、二、三和數(shù)學四相關(guān)的真題里面的大題用一定的時間復習一下，我覺得效果特別地好。

　　網(wǎng)友：我是考數(shù)一的學生，我覺得在復習的過程中，非常容易忘記前面已經(jīng)復習過的內(nèi)容，而現(xiàn)在大部分的時間都放到了政治沖刺那方面，請鐵老師給一些建議，這個應該如何下手抓緊數(shù)學的復習？

　　鐵軍：關(guān)于數(shù)學復習遺忘的事情是大家非常關(guān)注的事情，往往在最后這段時間，由于政治的壓力比較大，專業(yè)課還有英語的壓力都比較大，數(shù)學的公式，它的記憶對于我們很多理工類的同學來說確實是一個大問題，這個問題必須要解決，怎么解決，有兩個辦法，第一個就是我們要結(jié)合做過的一些習題，根據(jù)它的已知條件和相應的知識點把這些知識看一下。

　　我覺得數(shù)學一如果數(shù)學的公式遺忘的比較厲害，有兩個辦法可以解決，一個就是結(jié)合我們過去復習參考書和自己做過的題，把它的已知條件和解題過程中所用的公式進行歸納總結(jié)，這樣的話結(jié)合題來記憶公式比較牢，而且效果比較好。另外一個辦法就是重新把所有的知識點的邏輯結(jié)構(gòu)排列一遍。每一本參考書前面都有考研的重點和內(nèi)容提要，相應的一些知識點如果要看的話，每一天要總結(jié)三章和四章，這樣的話連續(xù)幾天把整個數(shù)學的知識點又強化了一遍。這個對于我們復習來說，也不用下太大的工夫，在復習政治的過程中，適當?shù)卮┎鍙土晹?shù)學的知識點就起到了記憶和加強的作用。

　　網(wǎng)友：模擬考試中，應該怎么按照實際戰(zhàn)術(shù)來分配時間，每種題型的時間應該是多少，如何利用有效的時間，在做完題以后，是否要留下時間來檢查？

　　鐵軍：網(wǎng)友問的這個問題是大家現(xiàn)在比較關(guān)心的問題，首先我要強調(diào)一點，就是在考試過程中，我們幾乎沒有時間進行檢查，這樣的話，只能是要做到全答全對，也就是說沒有時間來檢查，只能在計算或者說解題的過程中，保證運算或者是證明的準確性�？荚嚧痤}的時間安排，我想要注意幾點，第一個，就是填空題和選擇題的復習時間不能拖得太長，正常的話，基礎好的同學，用30分鐘左右的時間。基礎稍微差一點的同學，時間稍微長一點，45分鐘就夠了。這個原則就是我們很多同學感覺有困難，在這么短的時間內(nèi)，把題目給答完，感覺有困難，我想填空題和選擇題，把自己會做的，用盡量短的時間做完，不太會做的題，有難度的，拿不準的題，適當?shù)胤乓环�，最后的全力以赴地來做后面的大題。后面的大題的復習，考試應該是先把自己熟悉的大題完成，最后再做一些有難度的，自己感覺有困難的題。這樣大家在考試的過程中，可以靈活地安排時間，不至于手忙腳亂，也不至于安排的時間和計劃太僵化、死板。

　　網(wǎng)友：到目前為止，數(shù)學復習應該達到什么程度，現(xiàn)在應該是以看教材為主，做真題為主，還是做模擬題為主呢？

　　鐵軍：我覺得現(xiàn)在的復習應該到了一個比較成熟的復習的程度，大部分的問題基本上都已經(jīng)解決了，所謂欠缺的也就是適當?shù)仂柟毯吞岣�，加強實�?zhàn)的練習。網(wǎng)友問最后這段時間怎樣來利用，我想應該是教材的知識點和以前的真題，模擬題他們綜合的利用一下，綜合地復習一下。模擬題不能做的太多，如果模擬題做的過多，一個是會影響我們大家復習的信心，另外一個，模擬題做的太多，也沒有太大的必要，主要是我們的模擬題有一個共同的特點，都是偏難。太難的題對于我們復習來說，是不是很有用，我是持保留的意見。

　　主持人：有網(wǎng)友問，我對高數(shù)中的很多證明題做的時候沒有思路，尤其是微分中值定理那塊，請問證明題在考試中所占的重要性是怎么樣，怎么樣突破思路的堵塞？

　　鐵軍：這個問題在暑期的時候在各地講課的時候，我們是重點強調(diào)的問題。很多同學特別重視證明題，實質(zhì)上我們在研究生考試的數(shù)學試題以計算題為主，以證明題為輔，大家在最后的階段，會的證明題可以繼續(xù)復習，不太會的，可以適當?shù)胤乓环�。關(guān)于微分中值定理的證明題，我覺得用一天或者兩天的時間加強一下，還是可以把它能做得很好的。主要是大家要根據(jù)中值定理的特點，第一個羅爾定理，利用羅爾定理來證明問題，最重要的是設輔助函數(shù)，輔助函數(shù)的設法大家可以參照參考書，有固定的輔助函數(shù)的公式。再有我們考試經(jīng)�？祭�格朗日中值定理和柯西中值定理綜合來證明證明題，特別強調(diào)的是今年我們數(shù)學一、數(shù)學二要重視用泰勒公式來證明等式和不等式，這些都是比較明確的。適當?shù)丶訌娨幌拢�我想還是能收到很好的效果。

　　網(wǎng)友：鐵老師您能不能給我們談一下填空題、選擇題的一些技巧，還有做大題的一些應對措施？

　　鐵軍：填空題計算的技巧或者說復習的技巧，應該把一些概念性的東西要搞準，因為填空題命題有一個基本的原則，就是不允許出大的復雜的計算題，都是小的概念性的題目，因此在最后這階段，對于填空題這樣的小題，大家應該注意一些概念性的問題。選擇題我們說所謂的技巧，我強調(diào)就是會做的選擇題，一般能有4道小題，最好是先做完，不會做的先放一放。很多選擇題都是由證明題改編過來的，我們很多同學做起來，確實感覺很吃力，所以可以放一放。做大題的技巧，我覺得最重要的就是根據(jù)已知條件，把相應的數(shù)學的一些公式還有推導的結(jié)論，盡量地在試卷上羅列出來。這樣的話，我們可以得到很多步驟的分數(shù)，后面的結(jié)論或者說計算的結(jié)果，如果有一些出路或者有一些錯誤，也不會影響我們整個的數(shù)學試卷的成績。

　　主持人：謝謝鐵軍老師。接下來有一位考數(shù)四的考生。請問有理式的積分在大綱上的要求很模糊，我應該怎么對待這個知識點？

　　鐵軍：有理式的積分，在做題的時候，盡量避開有理函數(shù)分解成幾個簡單的函數(shù)， 而是用其他的換元法或者恒等變型的辦法代替。另外它也不是我們考試的重點，我們在不定積分里，數(shù)學四考試的重點第一步是用所謂的換元計算法或者分步積分法進行變型，然后再采取利用書上例題的基本方法來解答不定積分，大家集中在換元積分法和分步積分法的使用上。

　　網(wǎng)友：應用題在考試的時候，考的比較靈活，特別是微積分那部分，您能不能給詳細的介紹一下？

　　鐵軍：我想每年數(shù)學試題在講課的時候都強調(diào)學生不斷要掌握數(shù)學的基本知識和方法，而且這幾年特別強調(diào)學生運用數(shù)學知識來解決實際問題的能力，這樣的話大家應該重視數(shù)學應用題的復習，在微積分這部分，我們說應用題主要集中在幾個地方，第一個，利用微分方程來解一些應用的問題，首先要建立微分方法，然后再解微分方程。在定積分方面，微積分的應用比較多，是幾何應用和物理應用。還有我們講的數(shù)學一里面，利用積分的東西，比如二重積分，三重積分，線面的積分，求重心坐標和轉(zhuǎn)動慣量，這些內(nèi)容，大家應該統(tǒng)一起來復習。做題唯一的技巧就是要把已知條件里涉及到的所有的數(shù)學的關(guān)系式和數(shù)學所需要的量都用了數(shù)學式子表示出來。這就要求大家在最后這個階段，要把相應的涉及到用數(shù)學的知識來求物理的量、幾何的量，這些公式要重新整理一遍，如果這些公式建立不起來，我們相應的問題是無法解決的。如果把相應的公式和相應的量全部都用數(shù)學的式子表示出來，這個應用題基本上完全解決掉了。大家在復習的時候或者說在考試的時候，不必要求這個題答的非常地精確，但是前面的條件必須要列好，這樣就保證了我們應用題不能全答對的話，至少能得一半的分數(shù)，這樣做比較好一些，也有利于大家考試的時候發(fā)揮自己的聰明才智。

　　網(wǎng)友：請問數(shù)學大綱數(shù)一部分的概率部分，似乎改變的比較多，這是否預示著明年的考試難度會加大？

　　鐵軍：首先我們強調(diào)概率的要求在整個的考研數(shù)學試卷里是要求最低的，它考的都是一些基本的問題，我們今年數(shù)學一的概率大綱變化比較大，它的重點實質(zhì)上是不變的，只不過把過去的一些內(nèi)容又特別地強調(diào)了一下，大家在復習概率的時候，要緊緊抓住數(shù)學一的重點是一維隨機變量的數(shù)字特征、二維隨機變量的分布函數(shù)與數(shù)字特征，還有數(shù)理統(tǒng)計的內(nèi)容。

　　主持人：有考生想問您，對明年的考研數(shù)學的重點有沒有根據(jù)自己的經(jīng)驗做一些預測？

　　鐵軍：這點，每一年我們都做了一些預測，而且最近四五年導航的數(shù)學輔導的成績在全國非常高的。原因就是數(shù)學的知識點和考點是比較有規(guī)律的。大家就按照我們在沖刺和暑期所復習的這些重點里面，把它重新地整理一遍，基本上就能達到我們復習的目的。

　　主持人：暑期沖刺那些筆記，現(xiàn)在還需要重新整理和歸納嗎？

　　鐵軍：我覺得應該是的，因為最后這段時間，不要求大家做更多新的題型，但是自己過去做過的一些題目，還有我們暑期和沖刺的講義，對于大家來說，復習起來是比較快的，而且理解也是比較深刻的。另外我們講解的也比較完整，這樣的話里面有很多新的題型和有針對性的練習，如果大家抽出一段時間，把它仔細地看一看，對于大家最后的考試，我想是非常有好處的。

　　主持人：有網(wǎng)友問，二維隨機變量的分布和密度，這塊比較難，現(xiàn)在應該如何復習？

　　鐵軍：二維隨機變量主要考試考的是二維隨機變量聯(lián)合分布函數(shù)，聯(lián)合概率密度還有聯(lián)合分布率，邊緣分布率，邊緣概率密度，以及二維隨機變量函數(shù)的分布，還有它的數(shù)字特征，這個是一個整體的內(nèi)容。大家在復習的時候，應該相應地一些聯(lián)合概率密度還有邊緣概率密度的性質(zhì)要對照地來做以前的真題，真題里面的大題對于我們的公式的應用是比較完整的，也比較全面，最大的練習就是克服這些難度，應該特別直接有效。

　　主持人：謝謝老師。有網(wǎng)友問，請問等價無窮小的使用條件是什么，有時候用它結(jié)果不對。

　　鐵軍：等價無窮小的使用條件就是我們在強調(diào)的在0比0型未定式的過程中，我們強調(diào)相加減的時候，不能用等價無窮小代換，但是相乘除的時候可以用等價無窮小代換，這個要注意了，我們的計算就應該避免一些初級的錯誤。

　　網(wǎng)友：放縮法如何掌握放縮尺度？

　　鐵軍：放縮法的使用主要在兩邊夾定理里面會用到它。我們強調(diào)放縮法就是盡量地放大還有盡量地縮小，也就是說放大的時候要盡量地小，縮小的時候，要盡量地大。這樣的話，我們在求極限的過程中，利用兩邊夾定理，就可以放大縮小，做的比較合適。不然的話，往往無法利用兩邊夾定理來求極限。

　　主持人：考數(shù)一的考生問，數(shù)一高等數(shù)學的基礎題，中等難度題和高等難度題的比例大概是多少？

　　鐵軍：數(shù)學一二三四里面，在我們研究生考試中，基本上沒有太難的題，全都是中等難度以下的題目。大家感覺比較難，主要就是對相應的一部分知識是不是掌握的很好，大家要掌握這個比例的話，我想應該是根據(jù)自己復習的情況來把握，也就是說不熟悉的，特別是高等數(shù)學下半部分還有概率的后半部分，大家不熟悉的部分，我們都應該列為在答題的時候難題，其他的部分對大家來說都是比較簡單的題，這樣的分類，根據(jù)自己的情況來分類，而不是根據(jù)它的試卷來分類，應該比較恰當，也有助于大家現(xiàn)在來把握最后復習的題目、內(nèi)容還有復習的時間。

　　網(wǎng)友einnor：數(shù)學有沒有必要上沖刺班？

　　鐵軍：我覺得數(shù)學復習上沖刺班很有必要，近幾年看數(shù)學復習大家都重視起來，很多同學認為自己認真學習，自己看，能夠起到很好的效果，實際上從歷年的考試來看，凡是參加沖刺班和暑期輔導班的同學，相應的成績做了一個大概的統(tǒng)計，應該比自己復習的同學要高出20分到30分左右，這里面不是說老師押題或者有什么特殊的技巧，主要是把同學模糊的地方，掌握的不太好的地方，通過最后的輔導和沖刺，把這些問題提前解決。這樣的話，每個同學都會有自己的收獲，在考試的時候會體現(xiàn)出來，最后的成績也會相應的提高，我建議大家還是參加一個比較好的輔導班，聽我們一些比較有經(jīng)驗的老師做一下最后的沖刺輔導。對于大家復習應該效果比較好。

　　網(wǎng)友kk：我的基礎不是很好，復習的遍數(shù)也比較少，在最后一個月里如何有效地突破，還有沒有提高的余地？

　　鐵軍：我覺得這位同學問的問題是比較尖銳的，也比較突出。每年大概有10％到20％的同學面臨這樣的問題，臨到考前還感覺基礎比較薄弱，內(nèi)容掌握的不好，我想最后的解決的辦法有兩個，第一個就是把我們歷年出的真題中的大題大家認真地把它解決掉或者說要認真地做一遍。再有一個就是參加比較好的沖刺班，兩個結(jié)合起來，對我們最后的提高，我想會起到關(guān)鍵性的作用。

　　網(wǎng)友pipi：數(shù)二的難度會比去年有所提高嗎？

　　鐵軍：數(shù)學二的難度去年比較低的，今年的難度應該跟去年是持平。我們這幾年，數(shù)學試題的難度連續(xù)的在下降，大家不用擔心題目過難的問題，應該擔心我們相應的考點和知識點是不是掌握的很好，題目沒有太難的，計算量也沒有過大的，考察的是大家的基礎知識，還有基本技能，特別是數(shù)學應用的能力，這樣的話，大家應該做一些比較中等的題目，在最后這段時間，不應該特別地去抓沖刺題和模擬題里偏難的題目，對于大家復習，這個方向是正確的。

　　網(wǎng)友kk：曲面積分或者曲線積分是不是明年的必考題？

　　鐵軍：是的，一定是數(shù)學一的大題，數(shù)學一每年都考這兩個，其中曲線積分的變化比較大，曲面積分試題的變化比較小，去年數(shù)學一考察了用格林公式來計算曲線積分，今年大家對于曲線積分和曲面積分應該全面地進行復習，這樣我們復習才不會出現(xiàn)偏差的情況。

　　主持人：在目前的復習當中，有很多網(wǎng)友心里方面調(diào)整的不太好，請鐵老師針對他們的心里調(diào)節(jié)，說一些自己的建議？

　　鐵軍：第一個要樹立自信，信心絕對了我們考試發(fā)揮的情況。第二個，要特別注意基礎知識的復習和歸納總結(jié)，這樣的話，大家對于自己會的題目，能夠答的很圓滿，稍微變化一點的題目，大家也會有思路，對于考試這個心態(tài)是比較好的。另外一個，希望值不要太高，也就是說以平常心來對待，這樣的話，我們在答題過程中，反而能發(fā)揮自己比較理想的狀態(tài)，最后的成績，也會很滿意的。

　　網(wǎng)友：線性代數(shù)的題目有些復雜，有沒有一些做題的竅門可以指點？

　　鐵軍：線性代數(shù)的題目它的綜合性比較強，所以我們在復習的過程中，應該注意他必出的幾個大題，第一個就是求矩陣的方程，第二就是向量的線性表示問題，第三個是方程組的解法，第四個就是特征值和特征向量的問題，第五個就是求正焦距陣，把一個方陣變成相似對角矩陣，第六個二次型和正定二次型，這幾個大型把常見的解題方法，解題過程完整地做一遍，考試的時候，一定能把線性代數(shù)的大題做好，這就是最好的復習的技巧。

　　網(wǎng)友：請鐵老師說一下，真題的使用情況，是不是應該留一些題作為最后的模擬考試時候來用。

　　鐵軍：我覺得沒有必要，真題現(xiàn)在看的越早越好，另外正確的復習方法把數(shù)學一二三四，大綱里面要求的問題，把歷年的真題都看一遍，而且為了提高效率，應該看真題的分類解答，這樣的話，每一種類型的題做一道，相應的其他的題目，考研18年考試的真題這種類型的題目，就相當于都做了一遍，我覺得效果最好。如果發(fā)現(xiàn)有什么地方自己不太熟悉的或者說比較薄弱的地方，就可以馬上來加強。這樣的話，大家最后這段時間，我覺得做真題效果就會達到最佳的狀態(tài)。

　　網(wǎng)友：數(shù)學四要想考到120分，應該怎么努力。

　　主持人：他的真題已經(jīng)做過了，模擬題做了六七套了，該總結(jié)也總結(jié)過了，但是總沒有信心。

　　鐵軍：這種情況已經(jīng)比較好了，到最后把數(shù)學四真題做完了，把數(shù)一二三的真題作為大題練習，我覺得對大家的最后復習是比較好的。再一個是我們每天都應該做一些數(shù)學的基礎的計算，因為數(shù)學在考研的試題中是以計算題為主，雖然我們的方法是會的，但是最后計算的結(jié)果可能要出現(xiàn)一些問題，每年在披閱試卷過程中，都發(fā)現(xiàn)計算題錯誤的比較多，所以我們要把基本的計算常抓不懈，一直堅持到考研開始，每天做一些基本的計算題，對最后的復習應該很有好處。而且超過120分，如果這些都能做到，我想是沒有問題的。

　　網(wǎng)友：第一類曲面積分和第二類曲面積分的聯(lián)系和區(qū)別是什么？

　　鐵軍：第一類曲面積分是求面積，積分曲面是沒有方向的。第二類曲面積分是求對坐標的曲面積分，積分曲面是有方向的，并且他們的定義也完全不同，他們的物理的圓形也不同，他們計算的公式和方法也不同，只不過在計算的過程中，我們經(jīng)常用到兩類曲面積分之間的聯(lián)系，這是一個固定的公式，因此大家在復習的時候，沒有必要詳細地去比較他們之間的區(qū)別，而是要掌握相應的第一類和第二類曲面積分的計算方法，第二個就是在計算第二類曲面積分的過程中，要學會使用，利用第一類曲面積分建立的投影法來建立第二類曲面積分。這樣的話，我們計算第二類曲面積分就可以起到簡化計算的作用。

　　網(wǎng)友：老師，數(shù)二的質(zhì)心會出應用題嗎？

　　鐵軍：不會出應用題，因為用定積分來求重心的坐標以前不是我們的重點，現(xiàn)在在參考書里面，只有我出的考研數(shù)學800題里面才會有這樣的例題，這樣的話考的可能性不是很大。

　　主持人：鐵老師有沒有再補充的問題？

　　鐵軍：大家在最后的復習里，應該是抓大放小，抓大題放小題，也就是把主要的大題要搞好，第二個我們要適當?shù)匕才艜r間來復習數(shù)學，不能只復習別的科目，把數(shù)學完全地拋棄掉，應該每天做一點題或者說復習一下自己復習過的東西。這樣保持一定的強度。再有一個把基本的計算要常抓不懈，因為計算題是考研數(shù)學試題里重點的題型，每年在披閱試卷過程中，都發(fā)現(xiàn)很多不如意的地方，希望大家在最后這段時間要充分地去重視這個問題。

　　主持人：我們的訪談時間快到了，網(wǎng)友的問題基本上都回答了，請鐵老師針對這次大家提的問題，再做一個總結(jié)。

　　鐵軍：這次網(wǎng)友提的問題比較全面，也比較有針對性，大家在答題的時候應該遵循先易后難的原則，適當?shù)匕盐湛荚嚧痤}的時間，保持比較良好的心態(tài)，爭取答出自己的最高水平，答出一個好的成績。

　　主持人：謝謝鐵軍老師，我們今天的訪談到此結(jié)束。

　　鐵軍：謝謝各位網(wǎng)友，謝謝主持人。

　　主持人：今天的訪談到此結(jié)束，感謝鐵軍老師，也謝謝各位網(wǎng)友的參與。