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主持人:李老師的分布解題思路可以給許多網(wǎng)友提供一下借鑒,那其他老師呢?
李永樂(lè):我講一道選擇題吧,今年代數(shù)的選擇題有這樣一道題,給出的A和B兩個(gè)矩陣,要判斷這兩個(gè)矩陣,是不是合同,是不是相似。那么像這道題,主要是考察同學(xué)判斷相似和判斷合同的基本方法,要判斷相似的話,我想一個(gè)就是要用相似的必要條件來(lái)進(jìn)行排除。那么像這道考題的話,給出的這兩個(gè)矩陣不相似是很容易看出來(lái)的,因?yàn)锳和B這兩個(gè)矩陣,他們主對(duì)角線元素的和不相等。所以這樣兩個(gè)矩陣肯定是不相似的,所以這個(gè)不相似應(yīng)該很容易看出來(lái)。那么它們倆合同不合同呢??jī)蓚(gè)矩陣合同不合同,就是要檢查它們的二次型的正負(fù)慣性指數(shù),不是相同。那么要檢查二次型正慣性指數(shù),和負(fù)慣性指數(shù),我想應(yīng)當(dāng)有兩個(gè)基本的方法,一個(gè)方法就是用配方法,把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型,然后讀正慣性指數(shù),和負(fù)慣性指數(shù)。另外一個(gè)方法就是求出它們的特征值。根據(jù)特征值正負(fù)的情況,來(lái)決定正負(fù)慣性指數(shù),那么作為這道考題,矩陣A的特征值很容易求,我想大家具體求一下,這道題矩陣A的特征值應(yīng)當(dāng)是3、3、0。這樣表明矩陣A正慣性指數(shù)應(yīng)當(dāng)是2,負(fù)慣性指數(shù)應(yīng)當(dāng)是0。這和矩陣B二次型正慣性指數(shù)2,負(fù)慣性指數(shù)0是完全一樣的。既然是這樣的A和B這兩個(gè)正負(fù)慣性指數(shù)一定是相同的,所以對(duì)這道考題來(lái)說(shuō),正確的選項(xiàng)應(yīng)當(dāng)是B,合同但是不相似。
圖二
袁蔭棠:數(shù)一和數(shù)三的概率題,一共是五個(gè)題,四個(gè)題都涉及到連續(xù)性隨機(jī)變量,連續(xù)性隨機(jī)變量就涉及到積分的問(wèn)題,多數(shù)情況下,如果我們遇到連續(xù)性隨機(jī)變量,需要求概率和積分的時(shí)候,最好事先畫(huà)一個(gè)草圖,把草圖畫(huà)出來(lái)以后,那么就有利于幫助我們正確的來(lái)確定積分線,或者正確的計(jì)算相應(yīng)的概率。比如說(shuō)第23題,設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)=2-x-y,0小于x小于1,0小于y小于1。f(x,y)=0,其他,(1)求P(X大于2Y)。(2)求Z=X+Y的概率密度f(wàn)z(z)(圖二)。這個(gè)題目是二維連續(xù)型隨機(jī)變量有關(guān)的題目,這第一問(wèn)要求概率,求一個(gè)跟二維連續(xù)型隨機(jī)變量有關(guān)的概率,那么實(shí)際上就是在對(duì)這個(gè)聯(lián)合密度,在一個(gè)相應(yīng)的區(qū)域上的重積分。所以這樣我們必須把這個(gè)圖畫(huà)出來(lái),這樣才好將二重積分畫(huà)成單積分,如圖,首先把X等于2Y這條線畫(huà)出來(lái),那么X大于2Y就應(yīng)該是圖中陰影部分。所以第一問(wèn),這個(gè)概率就是PX大于2Y的這個(gè)概率,這個(gè)最基本的辦法就是求概率在相應(yīng)熟慮上的積分,應(yīng)該是聯(lián)合密度XY,積分的區(qū)域,就是X大于2Y的這個(gè)區(qū)域,所以就是G,G這個(gè)區(qū)域是三個(gè)條件,一個(gè)是x要大于2y,同時(shí)還要有x在(0,1)之間,那么y也要在(0,1)之間,把重積分化成單積分,有這個(gè)圖就幫助我們正確的確定積分線。那么第二問(wèn)仍然是個(gè)基本題,就是求兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布。兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù),考得比較多的就是兩個(gè)隨機(jī)變量的和,差,還有絕對(duì)值,最大值、最小值等等。還考過(guò)兩個(gè)隨機(jī)變量的乘積。那么兩個(gè)隨機(jī)變量和的分布,最基本的方法是求隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)。不管是一維隨機(jī)變量,還是二維隨機(jī)變量都應(yīng)該先求分布函數(shù),也就是要計(jì)算這樣一個(gè)概率:F(z)=P(Z小于等于z)=P(X+Y小于等于z)。那么求這個(gè)分布函數(shù),仍然是計(jì)算概率,就是計(jì)算X加Y小于等于Z這個(gè)概率,計(jì)算這個(gè)事件的概率,跟第一問(wèn)是同樣的方法,要對(duì)聯(lián)合分布密度,在這個(gè)區(qū)域上進(jìn)行一個(gè)二重積分,然后再把它化成單積分,然后具體的去做。那么這個(gè)題要注意的是什么呢,要注意的就是這個(gè)積分在z的不同的取值范圍里面積分是不同的,要分段來(lái)做,Z在(0,1)之間,和Z在(1,2)之間這個(gè)積分的區(qū)域是不同的。如果是熟練的,準(zhǔn)確的能夠把積分算出來(lái),那么這個(gè)題沒(méi)有什么方法上的難度。但是要花比較多的時(shí)間,但是我們除了最基本的分布函數(shù)法以外,還有一個(gè)方法,對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)之和,我們還有一個(gè)特殊的方法,就是卷積公式,大家比較熟悉的是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的卷積公式,不獨(dú)立和的卷積公式大家會(huì)運(yùn)用的話,這個(gè)和的密度的計(jì)算是很簡(jiǎn)單的。但是要注意積分線正確的選取。直接求密度,這是公式,我先把公式寫(xiě)出來(lái),所以這個(gè)分?jǐn)?shù)肯定有,下面要把聯(lián)合密度,要換成具體的表達(dá)式,那么f(x,z-x)僅在某一個(gè)區(qū)域上不為零,所以要把f(x,z- x)要是換成具體的表達(dá)式的時(shí)候,對(duì)x的積分線不是負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮。這個(gè)時(shí)候要特別注意積分線的選擇,x,z-x都要在(0,1)內(nèi),這個(gè)z應(yīng)該是x到1+x之間,這個(gè)時(shí)候要用卷積公式應(yīng)該再畫(huà)另外一個(gè)圖,如圖,這個(gè)區(qū)域應(yīng)該是平行四邊形,所以就要分段,當(dāng)z在(0,1)內(nèi)的時(shí)候,x應(yīng)該是從零積到z=x這條線,當(dāng)是z是(1,2)的時(shí)候,x應(yīng)該是z-1積到1,所以寫(xiě)的時(shí)候要分段。最后求出來(lái)的密度函數(shù)應(yīng)該是三段。如果把圖畫(huà)得準(zhǔn)確的話,那么對(duì)于幫助我們做題很有意的。另外選擇你自己熟悉的方法,正確率會(huì)提高,選擇比較簡(jiǎn)便的方法,會(huì)節(jié)約你解題的時(shí)間。
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