主持人：李老師的分布解題思路可以給許多網(wǎng)友提供一下借鑒，那其他老師呢？
李永樂(lè)：我講一道選擇題吧，今年代數(shù)的選擇題有這樣一道題，給出的A和B兩個(gè)矩陣，要判斷這兩個(gè)矩陣，是不是合同，是不是相似。那么像這道題，主要是考察同學(xué)判斷相似和判斷合同的基本方法，要判斷相似的話，我想一個(gè)就是要用相似的必要條件來(lái)進(jìn)行排除。那么像這道考題的話，給出的這兩個(gè)矩陣不相似是很容易看出來(lái)的，因?yàn)锳和B這兩個(gè)矩陣，他們主對(duì)角線元素的和不相等。所以這樣兩個(gè)矩陣肯定是不相似的，所以這個(gè)不相似應(yīng)該很容易看出來(lái)。那么它們倆合同不合同呢？?jī)蓚�(gè)矩陣合同不合同，就是要檢查它們的二次型的正負(fù)慣性指數(shù)，不是相同。那么要檢查二次型正慣性指數(shù)，和負(fù)慣性指數(shù)，我想應(yīng)當(dāng)有兩個(gè)基本的方法，一個(gè)方法就是用配方法，把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型，然后讀正慣性指數(shù)，和負(fù)慣性指數(shù)。另外一個(gè)方法就是求出它們的特征值。根據(jù)特征值正負(fù)的情況，來(lái)決定正負(fù)慣性指數(shù)，那么作為這道考題，矩陣A的特征值很容易求，我想大家具體求一下，這道題矩陣A的特征值應(yīng)當(dāng)是3、3、0。這樣表明矩陣A正慣性指數(shù)應(yīng)當(dāng)是2，負(fù)慣性指數(shù)應(yīng)當(dāng)是0。這和矩陣B二次型正慣性指數(shù)2，負(fù)慣性指數(shù)0是完全一樣的。既然是這樣的A和B這兩個(gè)正負(fù)慣性指數(shù)一定是相同的，所以對(duì)這道考題來(lái)說(shuō)，正確的選項(xiàng)應(yīng)當(dāng)是B，合同但是不相似。
圖二
袁蔭棠：數(shù)一和數(shù)三的概率題，一共是五個(gè)題，四個(gè)題都涉及到連續(xù)性隨機(jī)變量，連續(xù)性隨機(jī)變量就涉及到積分的問(wèn)題，多數(shù)情況下，如果我們遇到連續(xù)性隨機(jī)變量，需要求概率和積分的時(shí)候，最好事先畫(huà)一個(gè)草圖，把草圖畫(huà)出來(lái)以后，那么就有利于幫助我們正確的來(lái)確定積分線，或者正確的計(jì)算相應(yīng)的概率。比如說(shuō)第23題，設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=2-x-y，0小于x小于1，0小于y小于1。f（x，y）=0，其他，（1）求P（X大于2Y）。（2）求Z=X+Y的概率密度f(wàn)z（z）（圖二）。這個(gè)題目是二維連續(xù)型隨機(jī)變量有關(guān)的題目，這第一問(wèn)要求概率，求一個(gè)跟二維連續(xù)型隨機(jī)變量有關(guān)的概率，那么實(shí)際上就是在對(duì)這個(gè)聯(lián)合密度，在一個(gè)相應(yīng)的區(qū)域上的重積分。所以這樣我們必須把這個(gè)圖畫(huà)出來(lái)，這樣才好將二重積分畫(huà)成單積分，如圖，首先把X等于2Y這條線畫(huà)出來(lái)，那么X大于2Y就應(yīng)該是圖中陰影部分。所以第一問(wèn)，這個(gè)概率就是PX大于2Y的這個(gè)概率，這個(gè)最基本的辦法就是求概率在相應(yīng)熟慮上的積分，應(yīng)該是聯(lián)合密度XY，積分的區(qū)域，就是X大于2Y的這個(gè)區(qū)域，所以就是G，G這個(gè)區(qū)域是三個(gè)條件，一個(gè)是x要大于2y，同時(shí)還要有x在（0，1）之間，那么y也要在（0，1）之間，把重積分化成單積分，有這個(gè)圖就幫助我們正確的確定積分線。那么第二問(wèn)仍然是個(gè)基本題，就是求兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布。兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)，考得比較多的就是兩個(gè)隨機(jī)變量的和，差，還有絕對(duì)值，最大值、最小值等等。還考過(guò)兩個(gè)隨機(jī)變量的乘積。那么兩個(gè)隨機(jī)變量和的分布，最基本的方法是求隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)。不管是一維隨機(jī)變量，還是二維隨機(jī)變量都應(yīng)該先求分布函數(shù)，也就是要計(jì)算這樣一個(gè)概率：F（z）=P（Z小于等于z）=P（X+Y小于等于z）。那么求這個(gè)分布函數(shù)，仍然是計(jì)算概率，就是計(jì)算X加Y小于等于Z這個(gè)概率，計(jì)算這個(gè)事件的概率，跟第一問(wèn)是同樣的方法，要對(duì)聯(lián)合分布密度，在這個(gè)區(qū)域上進(jìn)行一個(gè)二重積分，然后再把它化成單積分，然后具體的去做。那么這個(gè)題要注意的是什么呢，要注意的就是這個(gè)積分在z的不同的取值范圍里面積分是不同的，要分段來(lái)做，Z在（0，1）之間，和Z在（1，2）之間這個(gè)積分的區(qū)域是不同的。如果是熟練的，準(zhǔn)確的能夠把積分算出來(lái)，那么這個(gè)題沒(méi)有什么方法上的難度。但是要花比較多的時(shí)間，但是我們除了最基本的分布函數(shù)法以外，還有一個(gè)方法，對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)之和，我們還有一個(gè)特殊的方法，就是卷積公式，大家比較熟悉的是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的卷積公式，不獨(dú)立和的卷積公式大家會(huì)運(yùn)用的話，這個(gè)和的密度的計(jì)算是很簡(jiǎn)單的。但是要注意積分線正確的選取。直接求密度，這是公式，我先把公式寫(xiě)出來(lái)，所以這個(gè)分?jǐn)?shù)肯定有，下面要把聯(lián)合密度，要換成具體的表達(dá)式，那么f（x，z-x）僅在某一個(gè)區(qū)域上不為零，所以要把f（x，z- x）要是換成具體的表達(dá)式的時(shí)候，對(duì)x的積分線不是負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮。這個(gè)時(shí)候要特別注意積分線的選擇，x，z-x都要在（0，1）內(nèi)，這個(gè)z應(yīng)該是x到1+x之間，這個(gè)時(shí)候要用卷積公式應(yīng)該再畫(huà)另外一個(gè)圖，如圖，這個(gè)區(qū)域應(yīng)該是平行四邊形，所以就要分段，當(dāng)z在（0，1）內(nèi)的時(shí)候，x應(yīng)該是從零積到z=x這條線，當(dāng)是z是（1，2）的時(shí)候，x應(yīng)該是z-1積到1，所以寫(xiě)的時(shí)候要分段。最后求出來(lái)的密度函數(shù)應(yīng)該是三段。如果把圖畫(huà)得準(zhǔn)確的話，那么對(duì)于幫助我們做題很有意的。另外選擇你自己熟悉的方法，正確率會(huì)提高，選擇比較簡(jiǎn)便的方法，會(huì)節(jié)約你解題的時(shí)間。
2007年考研試題及答案匯總專(zhuān)題
