各位網(wǎng)友，大家好！
主持人：各位網(wǎng)友大家下午好！歡迎大家光臨我們的嘉賓聊天室，我是婁雷。今天上午我們的2007年考研數(shù)學(xué)已經(jīng)正式結(jié)束了，我們今天下午為大家邀請(qǐng)到的是鐵老師光臨我們的聊天室，和大家共同關(guān)注今年的考研數(shù)學(xué)的一些真題情況。首先請(qǐng)鐵老師先給大家簡單從大概方面評(píng)論一下今年的考研數(shù)學(xué)題的難度。
鐵軍：各位網(wǎng)友大家好！我們今年數(shù)學(xué)的考試基本上結(jié)束了，我們很多同學(xué)都會(huì)有自己的一些體會(huì)。今年填空題和選擇題是大家比較容易做的，絕大部分的題都是答得很好，因?yàn)檫@個(gè)題大部分一個(gè)是我們講過，另外一個(gè)，也和原來大家練習(xí)的題，還有以前的真題是相類似的。除了個(gè)別幾個(gè)小題不太好做以外，其余的填空題和選擇題一共16道題目，大家應(yīng)該說這是64分，答個(gè)50分左右應(yīng)該問題不是很大。
我們今年的難度主要是從大體這個(gè)方面體現(xiàn)出來，我們在考試之前就提醒大家有兩點(diǎn)，第一個(gè)，前面的填空題和選擇題時(shí)間要控制在40分鐘到45分鐘之間，這樣的話留下主要的時(shí)間做后面的大題，我們很多同學(xué)也確實(shí)是這樣做的，把一些前面的小題比較困難的就放一放，然后集中精力做后面的大題，這樣做就能保證我們后面的大題有充分的時(shí)間來考慮。今年后面的大題是我們今年數(shù)學(xué)四題主要難點(diǎn)集中的地方，我們說在考試之前沖刺還有點(diǎn)題，我反復(fù)的和同學(xué)強(qiáng)調(diào)，今年的數(shù)學(xué)四題題目的難度不是很高，也就是說我們看到的數(shù)學(xué)一二三四的考試題，這些考試題都是我們最常見的一些題型，但是題目做起來并不順手，很多同學(xué)有這樣切身的體會(huì)，就是前面思路很簡單，公式也都很容易，甚至我們說的一些變化的題干脆老師就沒有出，出的都是我們在復(fù)習(xí)的過程中反復(fù)給大家練的一些基本的題型。這樣的話大家做起來就往往是中間轉(zhuǎn)折的地方會(huì)有一些困難，數(shù)學(xué)一二三四基本上都處于這樣一個(gè)狀態(tài)，這樣的話，我們覺得今年數(shù)學(xué)的分?jǐn)?shù)線不會(huì)太低，但是要比去年有所降低，因?yàn)槊康来箢}如果大家答得都不完整，中間轉(zhuǎn)折的地方，或者說拐彎的地方做不下去，這樣的話勢必要影響到我們的成績，所以從題目來看，我們07年的數(shù)學(xué)四題要比06年還要簡單。但是從做題的過程來看，它要比前幾年的，就是05、06年都要難，這是我們這樣的一個(gè)總體的印象。
主持人：鐵老師，下面給我們大家逐步點(diǎn)評(píng)一下今年的試題。
鐵軍：好的，我們很多同學(xué)經(jīng)過一年的努力，終于把考研進(jìn)行到底，很多同學(xué)想靜下心來休息一下，大部分同學(xué)還很關(guān)心自己的成績，想看一看答題的思路，還有結(jié)果是否正確。我們把大題，主要把數(shù)學(xué)一二三四的大題和大家共同分析一下。
首先我們看今年的四題和前兩年數(shù)學(xué)的四題有一個(gè)共同的地方，就是后面的大題，前面的小題也如此。前面選擇題的五道小題基本上數(shù)學(xué)一二三四差不多是類似的，后面的大題也有兩、三道大題基本上是一樣的，我們復(fù)習(xí)的時(shí)候就要提醒大家，應(yīng)該像我們領(lǐng)航在最近幾年反復(fù)的安排課程這個(gè)過程中做的這樣，就是文科和理科要在放在一起復(fù)習(xí)，因?yàn)槲覀冞@幾年是數(shù)學(xué)一二三四比工類很多大題都是一樣的，所有要求理工類難度率降低，經(jīng)濟(jì)類難度升高，從考試的試題來說也確實(shí)如此，因此在07年我們很多同學(xué)別的同學(xué)，下一屆同學(xué)準(zhǔn)備繼續(xù)考研，應(yīng)該文科和理科在一起上課應(yīng)該比較好。
首先我們看數(shù)學(xué)一的17道大題，是求一個(gè)二元函數(shù)在一個(gè)半圓內(nèi)它的最大值和最小值。這樣的題我們前兩年出過，出過類似的問題，它的做法也基本上是一樣的，首先要求這個(gè)二元函數(shù)在一個(gè)有解蔽區(qū)域內(nèi)它的最大和最小值，我們先求在這個(gè)有借地區(qū)這個(gè)半圓里邊，也就是半圓的內(nèi)部它的集子點(diǎn)，或者說求得它可能取得集子的點(diǎn)，對(duì)于我們這題就是求它的可能集子助點(diǎn)，所以第一步就是求偏導(dǎo)數(shù)，令偏導(dǎo)數(shù)等于零，我們得到的助點(diǎn)就是三個(gè)，一個(gè)是坐標(biāo)圓點(diǎn)，還有一個(gè)就是正負(fù)更號(hào)二一這兩個(gè)點(diǎn)。這一共是三個(gè)助點(diǎn)，可以求二元函數(shù)的三個(gè)值，算完以后再求二元函數(shù)在圓周的邊界線，這個(gè)半圓的邊界線可能取得集子的點(diǎn)，邊界有這么兩個(gè)邊界，一個(gè)是A的平方加Y方等于4，這是圓的方程，這是一個(gè)邊界。另外一個(gè)邊界就是Y等于零，這也是一個(gè)邊界，就是X軸，我們就希望用拉布郎日求數(shù)法，第一個(gè)求這個(gè)二元函數(shù)在A的平方加Y方等于4，且Y大于這個(gè)條件下，或者Y大于等于零也行它可能的集子點(diǎn)。另外一個(gè)就是條件集子，求二元函數(shù)，在X軸上這個(gè)條件集子，設(shè)了兩個(gè)拉布朗日函數(shù)，這個(gè)題基本上是白給分，它是比較基本的。
我們18題首先要添加一個(gè)平面，XOY做表面，也就是Z等于零，取上策還是下策，我們說都可以。大家要算三重積分，主要的18題難點(diǎn)就是計(jì)算三重積分，我們在最后沖刺題的時(shí)候給大家講三重積分的計(jì)算，事實(shí)上我只給大家列了一種，就是計(jì)算三重積分的時(shí)候有兩種做法，一種就是先二后一的做法，還有一種叫先一后二的方法，我們練的主要是先二后一，18題恰好就是先二后一的方法，我們也叫切片法。如果用切片法來算這個(gè)題就很簡單，如果用穿針法這個(gè)題就很難做，主要的困難就集中在這個(gè)地方，最后的結(jié)果，剛才用三分鐘的時(shí)間大概算了一下，也沒驗(yàn)證，大家可以看一看是不是三分之派。
然后看數(shù)學(xué)一的大題19題，這是綜值定理，我們19題甚至連輔助函數(shù)也不需要大家很復(fù)雜的設(shè)很多輔助函數(shù)，只要看都會(huì)寫，但是看這個(gè)題的證明過程還有它的已知條件，很多同學(xué)基本上就寫了那么一步兩步，中間做不下去了。大概的思路應(yīng)該是這樣的，我們的已知條件說在兩個(gè)函數(shù)F和G有二節(jié)保數(shù)，并且存在相等的最大值，很多同學(xué)對(duì)于這個(gè)相等的最大值處理的不好，相等的最大值是什么意思呢？就是在K區(qū)間AB內(nèi)存在一點(diǎn)C，我們做題肯定要用到羅爾的理論，怎么來分析呢？首先我們設(shè)這樣的一個(gè)輔助函數(shù)，令大FX等于小FX減去GX，這就是我們講的最簡單的設(shè)輔助函數(shù)的做法，然后把區(qū)間端點(diǎn)A帶到大FX里面去，大FA等于零，大FB也等于零，接下來就設(shè)C和D是這兩個(gè)函數(shù)，F(xiàn)X和GX在K區(qū)間里B內(nèi)的最大值點(diǎn)。這樣我們就設(shè)最大值為大M，分成兩種情況進(jìn)行討論，第一種情況，當(dāng)這兩個(gè)函數(shù)的最大值點(diǎn)，C等于D的時(shí)候，那么我們就知道C和D就是同一個(gè)點(diǎn)，大F，我剛才設(shè)的輔助函數(shù)等于小FX減去GX，對(duì)于這個(gè)輔助函數(shù)把這個(gè)相同的最大值點(diǎn)C帶進(jìn)去，大FC就等于零，這樣就有三個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值相等，大FA等于零，大FD等于零，還有大FC等于零，這樣我們就知道用兩次羅爾定理結(jié)論成立。這是一種情況。
第二種情況，當(dāng)這兩個(gè)函數(shù)小FX和小GX它的最大值點(diǎn)C和D不相等的時(shí)候，這個(gè)時(shí)候怎么做呢？我們這樣來處理，計(jì)算大F（小C）這個(gè)小C就是小FX的最大點(diǎn)，大F（小C）帶進(jìn)去算一算大于等于零，大家可以看一看，我設(shè)零點(diǎn)為ET，這樣就有大FA等于零，大FB等于零，又有三個(gè)函數(shù)值相等，再用兩次羅爾定理，大家感到困難的就是設(shè)輔助函數(shù)沒有問題，主要就是把已知條件中存在相等的最大值和最大值扁有機(jī)的聯(lián)系在一起，這一點(diǎn)很多同學(xué)做不好，所以很多同學(xué)這個(gè)題沒有做完整，但是我們看它只是做題不順手，并不是很難，因?yàn)槲覀冊邳c(diǎn)題班沖刺的時(shí)候和大家講，這些證明題都是短小精悍的題，你只要把已知條件表述出來，然后推導(dǎo)一下，基本上就出來了，但是我們很多同學(xué)還是沒有把已知條件完整的寫出來，然后就想直接分析去做，結(jié)果沒有做好。
我們再看數(shù)學(xué)一的第二十道大題，這個(gè)題計(jì)算量很大，我們說第一問，他要推導(dǎo)冪級(jí)數(shù)的系數(shù)，這個(gè)第一步很多同學(xué)用了十幾分鐘的時(shí)間應(yīng)該能推出來，而且有的同學(xué)我相信一定做得也不錯(cuò)，因?yàn)檫@個(gè)就是把已知方程利用冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)的性質(zhì)帶到方程里去，這個(gè)系數(shù)怎么比較才能把第一問這個(gè)系數(shù)寫出來，就是要把下標(biāo)N都變成N等于零，因?yàn)槲覀兦髮?dǎo)以后求冪級(jí)數(shù)逐向求導(dǎo)，如果我們把下標(biāo)全都變成N等于零，第一問基本上就推出來了。
20題難就難在第二問，很多同學(xué)拿過來第二問就想解，我們看到已知的這個(gè)方程不是我們學(xué)過的類型，也就是說它不是二節(jié)長系數(shù)的方程，所以不好解，很多同學(xué)還在硬解，我們說這個(gè)就不可取，應(yīng)該怎么做呢？你肯定做第二問是用第一問的結(jié)果來做，我們在沖刺的時(shí)候還給大家講過即使第一問做不出來，利用第一問的結(jié)果做第二問這個(gè)也給分，很多同學(xué)應(yīng)該想到這個(gè)問題。如果我們要做的話應(yīng)該這樣來考慮，用第一問數(shù)列AN的遞推公式把數(shù)列AN推導(dǎo)出來，就是一項(xiàng)一項(xiàng)推導(dǎo)，寫出前面幾項(xiàng)，基本上這個(gè)數(shù)列AN的通解就出來了，然后把AN帶到原來的冪級(jí)數(shù)里面去，然后逐項(xiàng)求導(dǎo)，再求和函數(shù)。這塊就是一個(gè)拐彎的地方，我們很多同學(xué)都沒有想到，說我應(yīng)該用20題第一問的結(jié)果把AN這個(gè)數(shù)列寫出來，而是集中精力解，最后發(fā)現(xiàn)解不了，結(jié)果發(fā)現(xiàn)就吃虧了。
21題這個(gè)就簡單了一些，這是線性代數(shù)的問題，線性代數(shù)這個(gè)問題，21題這是方程組有公共解的問題，這個(gè)題很多同學(xué)我相信是做得很不錯(cuò)的，已知的一個(gè)方程組與另外一個(gè)方程有公共解，這就表示我把已知方程組和另外一個(gè)方程放在一起，就有四個(gè)方程，聯(lián)立方程組，他們就應(yīng)該有解。他們要有解的話四個(gè)方程放在一起構(gòu)成的方程組就是非其次線性代數(shù)組，大家進(jìn)行粗等行變換就把參數(shù)A算出來了，一個(gè)應(yīng)該是一，另外一個(gè)是A等于二，這兩個(gè)參數(shù)我們都帶到原來的方程組里邊去，這樣分析兩種情況，求出公共解，A等于二的時(shí)候公共解就是零解，A等于一的時(shí)候公共解就應(yīng)該有無窮多解，這就是一、零、負(fù)一，這樣一個(gè)項(xiàng)量再乘以K，這個(gè)題是白給分的。
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