遞歸算法的執(zhí)行過程分遞推和回歸兩個階段。在遞推階段，把較復(fù)雜的問題（規(guī)模為n）的求解推到比原問題簡單一些的問題（規(guī)模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說，為計算fib(n)，必須先計算fib(n-1)和fib(n-2)，而計算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推，直至計算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結(jié)果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數(shù)fib中，當(dāng)n為1和0的情況。
在回歸階段，當(dāng)獲得最簡單情況的解后，逐級返回，依次得到稍復(fù)雜問題的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的結(jié)果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結(jié)果后，返回得到fib(n)的結(jié)果。
在編寫遞歸函數(shù)時要注意，函數(shù)中的局部變量和參數(shù)知識局限于當(dāng)前調(diào)用層，當(dāng)遞推進入“簡單問題”層時，原來層次上的參數(shù)和局部變量便被隱蔽起來。在一系列“簡單問題”層，它們各有自己的參數(shù)和局部變量。
由于遞歸引起一系列的函數(shù)調(diào)用，并且可能會有一系列的重復(fù)計算，遞歸算法的執(zhí)行效率相對較低。當(dāng)某個遞歸算法能較方便地轉(zhuǎn)換成遞推算法時，通常按遞推算法編寫程序。例如上例計算斐波那契數(shù)列的第n項的函數(shù)fib(n)應(yīng)采用遞推算法，即從斐波那契數(shù)列的前兩項出發(fā)，逐次由前兩項計算出下一項，直至計算出要求的第n項。
【問題】 組合問題
問題描述：找出從自然數(shù)1、2、……、n中任取r個數(shù)的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為： （1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1
（4）5、3、2 （5）5、3、1 （6）5、2、1
（7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1
（10）3、2、1
分析所列的10個組合，可以采用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數(shù)的算法。設(shè)函數(shù)為void comb(int m,int k)為找出從自然數(shù)1、2、……、m中任取k個數(shù)的所有組合。當(dāng)組合的第一個數(shù)字選定時，其后的數(shù)字是從余下的m-1個數(shù)中取k-1數(shù)的組合。這就將求m個數(shù)中取k個數(shù)的組合問題轉(zhuǎn)化成求m-1個數(shù)中取k-1個數(shù)的組合問題。設(shè)函數(shù)引入工作數(shù)組a[ ]存放求出的組合的數(shù)字，約定函數(shù)將確定的k個數(shù)字組合的第一個數(shù)字放在a[k]中，當(dāng)一個組合求出后，才將a[ ]中的一個組合輸出。第一個數(shù)可以是m、m-1、……、k，函數(shù)將確定組合的第一個數(shù)字放入數(shù)組后，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其余元素，繼續(xù)遞歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個組合。細(xì)節(jié)見以下程序中的函數(shù)comb。
【程序】
# include <stdio.h>
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int k)
{ int i,j;
for (i=m;i>=k;i--)
{ a[k]=i;
if (k>1)
comb(i-1,k-1);
else
{ for (j=a[0];j>0;j--)
printf(“%4d”,a[j]);
printf(“\n”);
}
}
}
void main()
{ a[0]=3;
comb(5,3);
}
【問題】 背包問題
問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。
設(shè)n件物品的重量分別為w0、w1、…、wn-1，物品的價值分別為v0、v1、…、vn-1。采用遞歸尋找物品的選擇方案。設(shè)前面已有了多種選擇的方案，并保留了其中總價值最大的方案于數(shù)組option[ ]，該方案的總價值存于變量maxv。當(dāng)前正在考察新方案，其物品選擇情況保存于數(shù)組cop[ ]。假定當(dāng)前方案已考慮了前i-1件物品，現(xiàn)在要考慮第i件物品；當(dāng)前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其余物品都選擇是可能的話，本方案能達到的總價值的期望值為tv。算法引入tv是當(dāng)一旦當(dāng)前方案的總價值的期望值也小于前面方案的總價值maxv時，繼續(xù)考察當(dāng)前方案變成無意義的工作，應(yīng)終止當(dāng)前方案，立即去考察下一個方案。因為當(dāng)方案的總價值不比maxv大時，該方案不會被再考察，這同時保證函數(shù)后找到的方案一定會比前面的方案更好。
對于第i件物品的選擇考慮有兩種可能：
（1） 考慮物品i被選擇，這種可能性僅當(dāng)包含它不會超過方案總重量限制時才是可行的。選中后，繼續(xù)遞歸去考慮其余物品的選擇。
（2） 考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當(dāng)不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況。
按以上思想寫出遞歸算法如下：
try(物品i，當(dāng)前選擇已達到的重量和，本方案可能達到的總價值tv)
{ /*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/
if(包含物品i是可以接受的)
{ 將物品i包含在當(dāng)前方案中；
if (i<n-1)
try(i+1,tw+物品i的重量,tv);
else
/*又一個完整方案，因為它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/
以當(dāng)前方案作為臨時最佳方案保存;
恢復(fù)物品i不包含狀態(tài)；
}
/*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/
if (不包含物品i僅是可男考慮的)
if (i<n-1)
try(i+1,tw,tv-物品i的價值)；
else
/*又一個完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/
以當(dāng)前方案作為臨時最佳方案保存;
}
為了理解上述算法，特舉以下實例。設(shè)有4件物品，它們的重量和價值見表：
|
物品 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
重量 |
5 |
3 |
2 |
1 |
|
價值 |
4 |
4 |
3 |
1 |
并設(shè)限制重量為7。則按以上算法，下圖表示找解過程。由圖知，一旦找到一個解，算法就進一步找更好的佳。如能判定某個查找分支不會找到更好的解，算法不會在該分支繼續(xù)查找，而是立即終止該分支，并去考察下一個分支。
Try(0,0,12) Try(1,5,12) Try(1,0,8) Try(2,5,8) Try(3,7,8) Try(2,3,8) Try(3,5,8) 不能得到更好的解 不能得到更好的解 超重 不能得到更好的解 得到解：(1,0,1,0) maxv=7 得到解：(0,1,1,1) maxv=8 不能得到更好的解 超重
按上述算法編寫函數(shù)和程序如下：
【程序】
# include <stdio.h>
# define N 100
double limitW,totV,maxV;
int option[N],cop[N];
struct { double weight;
double value;
}a[N];
int n;
void find(int i,double tw,double tv)
{ int k;
/*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/
if (tw+a[i].weight<=limitW)
{ cop[i]=1;
if (i<n-1) find(i+1,tw+a[i].weight,tv);
else
{ for (k=0;k<n;k++)
option[k]=cop[k];
maxv=tv;
}
cop[i]=0;
}
/*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/
if (tv-a[i].value>maxV)
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a[i].value);
else
{ for (k=0;k<n;k++)
option[k]=cop[k];
maxv=tv-a[i].value;
}
}
void main()
{ int k;
double w,v;
printf(“輸入物品種數(shù)\n”);
scanf((“%d”,&n);
printf(“輸入各物品的重量和價值\n”);
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++)
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v);
a[k].weight=w;
a[k].value=v;
totV+=V;
}
printf(“輸入限制重量\n”);
scanf(“%1f”,&limitV);
maxv=0.0;
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0;
find(0,0.0,totV);
for (k=0;k<n;k++)
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);
printf(“\n總價值為%.2f\n”,maxv);
}
作為對比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡單地逐一生成所有候選解，而是從每個物品對候選解的影響來形成值得進一步考慮的候選解，一個候選解是通過依次考察每個物品形成的。對物品i的考察有這樣幾種情況：當(dāng)該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應(yīng)該繼續(xù)考慮的；反之，該物品不應(yīng)該包括在當(dāng)前正在形成的候選解中。同樣地，僅當(dāng)物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時最佳解更好的候選解時，才去考慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當(dāng)前候選解中的方案也不應(yīng)繼續(xù)考慮。對于任一值得繼續(xù)考慮的方案，程序就去進一步考慮下一個物品。
【程序】
# include <stdio.h>
# define N 100
double limitW;
int cop[N];
struct ele { double weight;
double value;
} a[N];
int k,n;
struct { int flg;
double tw;
double tv;
}twv[N];
void next(int i,double tw,double tv)
{ twv[i].flg=1;
twv[i].tw=tw;
twv[i].tv=tv;
}
double find(struct ele *a,int n)
{ int i,k,f;
double maxv,tw,tv,totv;
maxv=0;
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++)
totv+=a[k].value;
next(0,0.0,totv);
i=0;
While (i>=0)
{ f=twv[i].flg;
tw=twv[i].tw;
tv=twv[i].tv;
switch(f)
{ case 1: twv[i].flg++;
if (tw+a[i].weight<=limitW)
if (i<n-1)
{ next(i+1,tw+a[i].weight,tv);
i++;
}
else
{ maxv=tv;
for (k=0;k<n;k++)
cop[k]=twv[k].flg!=0;
}
break;
case 0: i--;
break;
default: twv[i].flg=0;
if (tv-a[i].value>maxv)
if (i<n-1)
{ next(i+1,tw,tv-a[i].value);
i++;
}
else
{ maxv=tv-a[i].value;
for (k=0;k<n;k++)
cop[k]=twv[k].flg!=0;
}
break;
}
}
return maxv;
}
void main()
{ double maxv;
printf(“輸入物品種數(shù)\n”);
scanf((“%d”,&n);
printf(“輸入限制重量\n”);
scanf(“%1f”,&limitW);
printf(“輸入各物品的重量和價值\n”);
for (k=0;k<n;k++)
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value);
maxv=find(a,n);
printf(“\n選中的物品為\n”);
for (k=0;k<n;k++)
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);
printf(“\n總價值為%.2f\n”,maxv);
}
五、回溯法
回溯法也稱為試探法，該方法首先暫時放棄關(guān)于問題規(guī)模大小的限制，并將問題的候選解按某種順序逐一枚舉和檢驗。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不可能是解時，就選擇下一個候選解；倘若當(dāng)前候選解除了還不滿足問題規(guī)模要求外，滿足所有其他要求時，繼續(xù)擴大當(dāng)前候選解的規(guī)模，并繼續(xù)試探。如果當(dāng)前候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的所有要求時，該候選解就是問題的一個解。在回溯法中，放棄當(dāng)前候選解，尋找下一個候選解的過程稱為回溯。擴大當(dāng)前候選解的規(guī)模，以繼續(xù)試探的過程稱為向前試探。
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