容斥原理和抽屜原理是公務(wù)員考試行測科目數(shù)學(xué)運(yùn)算部分的“�？汀�，了解此兩種原理不僅可以提高做題效率，還可以提高自己的運(yùn)算能力，掃平所有此類計(jì)算題。在此進(jìn)行詳細(xì)解讀。
一、容斥原理
計(jì)數(shù)時(shí)要保證無一重復(fù)、無一遺漏。為了使重疊部分不被重復(fù)計(jì)算，在不考慮重疊的情況下，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計(jì)算出來，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算結(jié)果既無遺漏又無重復(fù)，這種計(jì)數(shù)的方法稱為容斥原理。
1.兩個(gè)集合的容斥原理
如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B兩類，那么，先把A、B兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，發(fā)現(xiàn)既是A類又是B類的部分重復(fù)計(jì)算了一次，所以要減去。如圖所示：
公式：A∪B=A+B-A∩B
總數(shù)=兩個(gè)圓內(nèi)的-重合部分的
【例1】一次期末考試，某班有15人數(shù)學(xué)得滿分，有12人語文得滿分，并且有4人語、數(shù)都是滿分，那么這個(gè)班至少有一門得滿分的同學(xué)有多少人?
【解析】數(shù)學(xué)得滿分人數(shù)→A，語文得滿分人數(shù)→B，數(shù)學(xué)、語文都是滿分人數(shù)→A∩B，至少有一門得滿分人數(shù)→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一門得滿分。
2.三個(gè)集合的容斥原理
如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，將A、B、C三個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加后發(fā)現(xiàn)兩兩重疊的部分重復(fù)計(jì)算了1次，三個(gè)集合公共部分被重復(fù)計(jì)算了2次。
如圖所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重復(fù)計(jì)算了1次，黑色部分A∩B∩C被重復(fù)計(jì)算了2次，因此總數(shù)A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到：
公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C
總數(shù)=三個(gè)圓內(nèi)的-重合兩次的+重合三次的
【例2】某班有學(xué)生45人，每人都參加體育訓(xùn)練隊(duì)，其中參加足球隊(duì)的有25人，參加排球隊(duì)的有22人，參加游泳隊(duì)的有24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，問：三項(xiàng)都參加的有多少人?
【解析】參加足球隊(duì)→A，參加排球隊(duì)→B，參加游泳隊(duì)→C，足球、排球都參加的→A∩B，足球、游泳都參加的→C∩A，排球、游泳都參加的→B∩C，三項(xiàng)都參加的→A∩B∩C。三項(xiàng)都參加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。
3.用文氏圖解題
文氏圖又稱韋恩圖，能夠?qū)⑦壿嬯P(guān)系可視化的示意圖。從文氏圖可清晰地看出集合間的邏輯關(guān)系、重復(fù)計(jì)算的次數(shù)，最適合描述3個(gè)集合的情況。
【例3】某班有50 位同學(xué)參加期末考試，結(jié)果英文不及格的有15 人，數(shù)學(xué)不及格的有19 人，英文和數(shù)學(xué)都及格的有21 人。那么英文和數(shù)學(xué)都不及格的有( )人。
A.4 B.5 C.13 D.17
【解析】如圖所示，按英文及格、數(shù)學(xué)及格畫2個(gè)圓圈，根據(jù)題干條件確定它們重疊。
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