在古書《孫子算經(jīng)》中有一道題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”意思是：有一堆物品，三個(gè)三個(gè)數(shù)剩兩個(gè)，五個(gè)五個(gè)數(shù)剩三個(gè)，七個(gè)七個(gè)數(shù)剩兩個(gè)。求這堆物品的個(gè)數(shù)。我們稱這類問題為孫子問題。類似問題在公務(wù)員考試行測中也會(huì)考到，考生們也要對其進(jìn)行全面了解。
一、剩余問題的基礎(chǔ)解法
【例1】 一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2。求滿足條件的最小自然數(shù)。
【解析】這道例題就是《孫子算經(jīng)》中的問題。這個(gè)問題有三個(gè)條件，一下子不好解答。那么，我們能不能先求出滿足其中一個(gè)條件的數(shù)，然后再逐步增加條件，達(dá)到最終解決問題的目的呢?我們試試看。
滿足“除以3余2”的數(shù)，有2，5，8，11，14，17，…
在上面的幾個(gè)數(shù)字中再找滿足“除以5余3”的數(shù)，這個(gè)數(shù)就是8，8是同時(shí)滿足“除以3余2”、“除以5余3”兩個(gè)條件的數(shù)，容易看出，8再加上3與5的公倍數(shù)，仍然滿足這兩個(gè)條件，所以滿足這兩個(gè)條件的數(shù)有
8，23，38，53，68，…
在上面的數(shù)中再找滿足“除以7余2”的數(shù)，可以找到23，23是同時(shí)滿足“除以3余2”、“除以5余3”、“除以7余2”三個(gè)條件的數(shù)。23再加上或減去3，5，7的公倍數(shù)，仍然滿足這三個(gè)條件，[3，5，7]=105，因?yàn)?3<105，所以滿足這三個(gè)條件的最小自然數(shù)是23。
在例1中，若找到的數(shù)大于[3，5，7]，則應(yīng)當(dāng)用找到的數(shù)減去[3，5，7]的倍數(shù)，使得差小于[3，5，7]，這個(gè)差即為所求的最小自然數(shù)。
二、剩余問題的特殊情況
(1)余同(余數(shù)相同)加余
【例題2】某校二年級全部共3個(gè)班的學(xué)生排隊(duì)，每排4人，5人或6人，最后一排都只有2人，這個(gè)學(xué)校二年級有( )名學(xué)生。
A.120 B.122 C.121 D.123
【答案】B
【解析】由題意可知該校二年級的學(xué)生人數(shù)除以4、5、6均余2，余數(shù)相同，屬于余同，因此該班學(xué)生人數(shù)滿足通項(xiàng)公式N=60n+2 ，(n=0，1，2，3……)，當(dāng)n=2時(shí)，N=122，選擇B項(xiàng)。
注：n前面的系數(shù)60是取4、5、6三個(gè)除數(shù)的最小公倍數(shù)。
(2)和同(除數(shù)和余數(shù)的和相同)加和
【例題3】某個(gè)數(shù)除以5余3，除以6余2，除以7余1，求在0至500內(nèi)滿足這樣的自然數(shù)有多少個(gè)?
A.3 B.2 C.4 D.5
【答案】A
【解析】此題我們通過觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)除數(shù)與余數(shù)的和相加均為8，則該自然數(shù)應(yīng)滿足N=210n+8(n=0，1，2……)因此在0至500以內(nèi)滿足題干條件的自然數(shù)有8，218，428三個(gè)數(shù)。
注：n前面的系數(shù)210是取5、6、7三個(gè)除數(shù)的最小公倍數(shù)。
(3)差同(除數(shù)與余數(shù)之差相同)減差
【例題4】三位運(yùn)動(dòng)員跨臺階，臺階總數(shù)在100-150級之間，第一位運(yùn)動(dòng)員每次跨3級臺階，最后一步還剩2級臺階。第二位運(yùn)動(dòng)員每次跨4級臺階，最后一步還剩3級臺階。第三位運(yùn)動(dòng)員每次跨5級臺階，最后一步還剩4級臺階。問：這些臺階總共有多少級?
A. 119 B. 121 C. 129 D. 131
【答案】A
【解析】通過觀察我們會(huì)發(fā)現(xiàn)除數(shù)與余數(shù)的差均為1，因此臺階數(shù)滿足：N=60n-1(n=1，2，3……)，可發(fā)現(xiàn)A項(xiàng)滿足該通項(xiàng)公式。
三、剩余問題的特殊情況
用同余特性解題
【例題5】三位數(shù)的自然數(shù)P滿足：除以3余2，除以7余3，除以11余4，則符合條件的自然數(shù)P有多少個(gè)?
A.5 B. 4 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】此題不滿足我們前面所講的特殊情況，但是通過觀察我們發(fā)現(xiàn)，P滿足除以3余2，除以7余3兩個(gè)條件時(shí)，在P的基礎(chǔ)上加上4，即(P+4)這個(gè)數(shù)一定是能夠被3整除以及被7整除的，因此(P+4)=21n，所以P=21n-4……①，得到的這個(gè)通項(xiàng)公式再與除以11余4進(jìn)行找通項(xiàng)公式。該自然數(shù)P=21n-4=11a+4，等式左邊都是被11除，等式左邊的余數(shù)為10n-4，等式右邊的余數(shù)為4，我們知道一個(gè)數(shù)被11除余4，也可以認(rèn)為這個(gè)數(shù)被11除余15，或被11除余26等。根據(jù)同余特性可知，等式左邊的余數(shù)10n-4應(yīng)與等式右邊的余數(shù)4，15，26等數(shù)值相等。因?yàn)閚要取整數(shù)，所以取10n-4=26可以得到n=3代入①式得到P=59，所求的59這個(gè)數(shù)是滿足題干三個(gè)條件的最小數(shù)，所以，滿足題干三個(gè)條件的數(shù)P=231n+59(n=1，2，3……)，所以在三位數(shù)以內(nèi)的數(shù)有290，521，752，983四個(gè)數(shù)。選擇B項(xiàng)。
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