在數(shù)學(xué)運(yùn)算的題目中,涉及的數(shù)值無非是整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等,他們之間的運(yùn)算關(guān)系主要由加減乘除連接。在這里,有一種一看就了然的符號(hào)“:”。在語文里叫做 “冒號(hào)”,但在,在數(shù)學(xué)王國里是“比”。這個(gè)“比”會(huì)出什么樣的題型?具體怎么考?又是如何求解的?下面中公教育專家為大家進(jìn)行詳細(xì)的解答。
首先,我們得明白,在“比”的王國里涉及的量主要有:實(shí)際值、比例值、比例差值、實(shí)際差值等,這些量從其的字面意思不難理解,但是解題的核心思想在于“份數(shù)”,什么是“份數(shù)”?例如:一個(gè)班里男女比例為2:3,那么我們可以理解為“一個(gè)班里,男生占了2份,女生占了3份,全班是5份”這就是“份數(shù)”。
具體如何使用?若題干還已知女生比男生多3人,那么,這個(gè)時(shí)候我們可以知道女生比男生多了1份,而實(shí)際是多了3人,則1份對(duì)應(yīng)的是3人,全班是5份,則共有5×3=15人。這就是比例的核心思想在題中的應(yīng)用之一。在考試中,出現(xiàn)的考點(diǎn)主要有:
考點(diǎn)一:比例的核心“份數(shù)”思想
【例1】甲、乙兩個(gè)糧庫的庫存量之比為10﹕7,要使這兩個(gè)倉庫的庫存量相等,甲倉庫需要向乙倉庫搬入的糧食占甲倉庫庫存量的:
A.15% B.20% C.25% D.30%
【解析】A。
方法一、已知甲、乙兩個(gè)糧庫的庫存量之比為10﹕7,設(shè)甲、乙糧庫的庫存量分別為10x、7x,甲糧庫向乙糧庫搬入糧食y。根據(jù)題意,10x-y=7x+y,得到y(tǒng)=x。則該部分糧食占甲糧庫庫存量的x÷10x=15%。選A。
方法二、已知甲、乙兩個(gè)糧庫的庫存量之比為10﹕7則甲為10份,乙為7份,要想庫存量相同則各為(10+7)÷2=8.5份,甲減少(10-8.5)÷10=15%,選A。
題型識(shí)別:題干中直接有比例,對(duì)于含有比例的題型,在作答時(shí)時(shí)可以直接用份數(shù)來進(jìn)行運(yùn)算,通過2種方法的對(duì)比,份數(shù)的核心使得題目得以快速解答。
【例2】某項(xiàng)工程,小王單獨(dú)做需15天完成,小張單獨(dú)做需10天完成,F(xiàn)在兩人合作,但中間小王休息了5天,小張也休息了若干天,最后該工程用11天完成。則小張休息的天數(shù)是()
A.6天 B.2天 C.3天 D.5天
【解析】D。設(shè)工程總量為30份,則小王的效率為2份,小張的效率為3份。兩人合作,小王做了11-5=6天,完成工作2×6=12份,剩下的工程量30-12=18份由小張完成,需要18÷3=6天,因此小張休息的天數(shù)為11-6=5天,選擇D。
提醒識(shí)別:此題中沒有直接出現(xiàn)比例,而是利用特值,繼而利用份數(shù)的思想進(jìn)行作答,雖然不是實(shí)際值但是在解題過程中必然是同增同減的擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù),再進(jìn)行求解。
考點(diǎn)二:綜合比例:找不變量,同一比例
【例3】步行與騎自行車速度之比為1∶3,騎自行車與公共汽車的速度之比為2∶5,公共汽車4小時(shí)所行的路,小轎車只需行2.5小時(shí),設(shè)小轎車2小時(shí)行了120千米,求步行每小時(shí)為多少千米?【2012-事業(yè)單位】
A.12 B.11 C.5 D.7
【解析】C。
方法一:假設(shè)步行速度為x,則自行車速度為3x,公共汽車的速度為7.5x,小轎車的速度為7.5x×4÷2.5=12x,小轎車2小時(shí)行了120千米,即每小時(shí)60千米,可得12x=60,解得x=5千米/小時(shí)。
方法二:由題干可知步行與騎自行車速度之比為1:3,騎自行車與公共汽車的速度之比為2∶5則步行:騎自行車:公共汽車的速度之比為2:6:15,又由于 “公共汽車4小時(shí)所行的路,小轎車只需行2.5小時(shí)”路程相同,速度之比與時(shí)間之比成反比,則公共汽車:轎車速度之比為5:8,則步行:騎自行車:公共汽車:轎車的速度之比為2:6:15:24,轎車的速度為120÷2=60千米/小時(shí),則步行的速度為60÷12=5千米/小時(shí),選C。
題型識(shí)別:題干中直接出現(xiàn)多個(gè)比例,面對(duì)多個(gè)比例的題目時(shí),首先要綜合比例,然后根據(jù)實(shí)際值對(duì)應(yīng)的比例關(guān)系進(jìn)行求解。
【例4】兩個(gè)相同的瓶子裝滿酒精溶液,一個(gè)瓶子中酒精與水的體積比是3∶1,另一個(gè)瓶子中酒精與水的體積比是4∶1,若把兩瓶酒精溶液混合,則混合后的酒精和水的體積之比是()
A.31∶9 B.7∶2 C.31∶40 D.20∶11
【解析】A。一個(gè)瓶子的酒精與水的體積比為3∶1,則瓶子的體積是3+1=4份;另一個(gè)瓶子的酒精與水的體積比為4∶1,則瓶子的體積是 4+1=5份。因?yàn)槠孔拥捏w積是一定的,為方便計(jì)算,不妨設(shè)瓶子的體積是4、5的最小公倍數(shù):20份。則兩瓶中酒精體積分別為15份、16份,水的體積分別為20-15=5份、20-16=4份,則混合后體積比為(15+16)∶(5+4)=31∶9。所以正確答案為A。
題型識(shí)別:題干中出現(xiàn)多個(gè)比例,但是和例3有所不同,例3中,題干中的比例有相互聯(lián)系的共同元素,而此題不是那么的明顯,故要尋找的是不變量,題干中的不變量是“總體積”故既要用到比例的核心思想也要用到綜合比例進(jìn)行答題。
當(dāng)題干中出現(xiàn)比例時(shí),優(yōu)先選擇用份數(shù)的思想進(jìn)行作答,用一貫的做法挑戰(zhàn)無限的可能。用比例的核心,和成功握手。在比例的王國里,不再有黑暗和懼怕。
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