名師教你如何正確運(yùn)用垂徑定理

　　例1.如圖，弓形弦AB=6，弓形高為1，則其所在圓的半徑為_____。

　　[解析]：作弦AB的垂直平分線，分別交-、弦AB于C、D兩點(diǎn)。則CD為弓形的高，由垂徑定理的推論知圓心O一定在直線CD上，設(shè)圓心O在如圖所示的位置，半徑為r，連結(jié)BD，在Rt△BDO中，BD=3，BO=r，OD=r-1，由勾股定理得32+(r-1)2=r2，解得r=5。答案：5

　　[點(diǎn)評(píng)]：此題運(yùn)用了“垂直弦、平分弦就過圓心且過弧的中點(diǎn)”的垂徑定理的推論。

　　例2.已知⊙O的半徑為2cm，弦AB長為2-cm，則這條弦的中點(diǎn)到弦所對(duì)劣弧的中點(diǎn)的距離為_____。

　　[解析]：如圖，取弧AB的中點(diǎn)C，弦AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD并延長，由垂徑定理的推論知圓心O一定在直線CD上，且OC⊥AB。在Rt△ADO中，AD=-，AO=2，由勾股定理可求得OD=1，∴弦的中點(diǎn)到弦所對(duì)劣弧的中點(diǎn)的距離CD=2-1=1。

　　答案：1

　　[點(diǎn)評(píng)]：此題運(yùn)用了“過弧的中點(diǎn)、過弦的中點(diǎn)就過圓心且垂直于弦”的垂徑定理的推論。

　　例3.如圖，⊙O的直徑為10，弦AB為8，P是弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，若OP的長為整數(shù)，則滿足條件的點(diǎn)P有____個(gè)。

　　[解析]：過O點(diǎn)作OC⊥AB于C，由垂徑定理可得AC=BC=4，在Rt△ACO中，由勾股定理可求得OC=3，由P點(diǎn)在線段AB上的位置可知當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，OP最短且長為整數(shù)3，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A、B兩點(diǎn)時(shí)，OP最長且長為整數(shù)5，由于數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，可知A點(diǎn)和C點(diǎn)之間必存在一點(diǎn)P，使OP的長為4，同理B點(diǎn)和C點(diǎn)之間也存在一點(diǎn)P，使OP的長為4。

　　∴滿足條件的點(diǎn)P一共有5個(gè)。

　　答案：5

　　[點(diǎn)評(píng)]：此題運(yùn)用了“過圓心、垂直弦，就平分弦”的垂徑定理。