2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競(jìng)賽講座(28)

　　5.“拆”、“并”和通分

　　下面重點(diǎn)介紹分式的變形：

　　(1) 分離分式 為了討論某些用分式表示的數(shù)的性質(zhì)，有時(shí)要將一個(gè)分式表示為一個(gè)整式和一個(gè)分式的代數(shù)和.

　　例8(第1屆國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)證明對(duì)于任意自然數(shù)n，分?jǐn)?shù)皆不可約.,

　　證明 如果一個(gè)假分?jǐn)?shù)可以通約，化為帶分?jǐn)?shù)后，它的真分?jǐn)?shù)部分也必定可以通約.

　　而

　　顯然不可通約，故不可通約，從而也不可通約.

　　(2) 表示成部分分式 將一個(gè)分式表示為部分分式就是將分式化為若干個(gè)真分式的代數(shù)和.

　　例9 設(shè)n為正整數(shù)，求證：

　�、� ②

　　證明 令

　　通分，

　　比較①、②兩式，得A-B=0，且A+B=1，即A=B=.

　　∴

　　令k=1,2,…,n得

　　(3)通分 通分是分式中最基本的變形,例9的變形就是以通分為基礎(chǔ)的,下面再看一個(gè)技巧性較強(qiáng)的例子.

　　例10(1986年冬令營(yíng)賽前訓(xùn)練題)

　　已知

　　求證:.

　　證明

　　6.其他變形

　　例11 (1985年全國(guó)初中競(jìng)賽題)已知x(x≠0，±1)和1兩個(gè)數(shù)，如果只許用加法、減法和1作被除數(shù)的除法三種運(yùn)算(可用括號(hào))，經(jīng)過(guò)六步算出x2.那么計(jì)算的表達(dá)式是______.

　　解 x2=x(x+1)-x

　　或 x2=x(x-1)+x

　　例12 (第3屆美國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)設(shè)a、b、c、d都是正整數(shù)，且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b.

　　解 由質(zhì)因數(shù)分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可設(shè)a=x4,c=y2,故

　　19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2)

　　解得 x=3. y=10. ∴ d-b=y3-x5=757

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