2011年中招考試：《初中數(shù)學》競賽講座(27)

　　4.其它

　　下面我們再利用配方法來解一個多元函數(shù)的最值問題.

　　例12 (1978年日本半橋技術(shù)科學大學入學題)在邊長為a的正三角形中,設點P、Q、R在邊BC,CA,AB上運動,并保持的關系,設，△PQR的面積為S.

　　(1)用x、y、z表示S;(2)求S的最大值;

　　(3)求S取最大值時，、、的值.

　　解(1)S=S△ABC-(S△AQR+S△BRP+S△CPQ).

　　∵S△ABC=a2，

　　S△AQR=z(a-y)sin60°

　　=z(a-y).

　　同樣S△BRP=x·(a-z),

　　S△CPQ=y(a-x).

　　∴S=a2-[z(a-y)+x(a-z)+y(a-x)]

　　=a2-a(x+y+z)+

　　(yz+yx+xy)

　　=a2-a2+(yz+yx+xy)

　　=(yz+yx+xy). ①

　　(2)將z=a-x-y代入①消去z得

　　S=[(a-x-y)(x+y)+xy]

　　=-[x2+(y-a)y+y2-ay],

　　∴S=-)

　　≤

　　當x+時，上式取等號，

　　即x=y=z=時，Smax=a2，

　　(3)根據(jù)(2)，當S取最大值時，x=y=z=.

　　在△CPQ內(nèi)，CQ=，CP=.由余弦定理得

　　最后，我們把視線轉(zhuǎn)向分段函數(shù)的極值問題.

　　例13(1968～1969年波蘭競賽題)已知兩兩互異的實數(shù)a­1，a2，…，an.求由式子(x為實數(shù))y=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|所定義的函數(shù)的最小值.

　　解 我們首先研究一個簡單的事實：

　　設a

　　u=|x-a|+|x-b|=

　　u在a≤x≤b上每一點達到最小值:

　　-a+b. ①

　　下面我們來研究原命題:對a1,a2,…，an重新按從小到大排序為a1′,a2′,…an′.

　　于是，當n為偶數(shù)，即n=2m時，將原函數(shù)重新記為

　　y=(|x-a1′|+|x-an′|+|x-a2′|+|x-a′n-1|

　　+…+|x-am′|+|x-a′m+1).

　　令y=|x-a′i|+|x-a′n+1-i|,由①,它在ai≤x≤an+i上取最小值-ai+an+1-i.

　　又∵每一個區(qū)間都包含著下一個區(qū)間，即[a1,an]

　　[a2,an-1]…[am，am-1](“”讀作包含，如AB，讀作A包含B)，因此它們的公共區(qū)間為[am，am+1].由于在區(qū)間[am，am+1]每點上所有yi都取常數(shù)最小值，為了方便令x=am或x=am+1于是

　　y最小值=-a1+an-a2+an-1+…-am+am+1

　　=-a1-a2-…-am+am+1+am+2+…+an.

　　當n為奇數(shù)時，將原函數(shù)記為

　　y=(|x-a1′|+|x-an′|+|x-a2′|+|x-a′n-1|)

　　+…+(|x-am′|+|x-a′m+2|)+|x-a′m+1|.

　　類似上面的討論，當x=am+1時，

　　y最小值=-a1-a2-…-am+am+2+am+3+…+an.

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