2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競(jìng)賽講座(27)

　　2.正比便函數(shù)、反比便函數(shù)及一次函數(shù)

　　例8 (1987年浙江省初中競(jìng)賽題)已知y=y1+，其中y1與x成正比例，y2與x成反比例，且當(dāng)x=2和x=3時(shí)，y的值都為19.求y與變量x的函數(shù)關(guān)系式.

　　解 設(shè)y1=k1x，y2=(k1，k2均不為零)，

　　則 y=y1+=k1x+.

　　將x=2，x=3代入y=y1+得

　　∴ y=5x+

　　例9(1986年吉林八市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)有一組對(duì)應(yīng)值x=,y=0.試證y=ax+b不能有二組以上的有理數(shù)的對(duì)應(yīng)值.

　　證明 若y=ax+b存在兩組不同的有理數(shù)對(duì)應(yīng)值(x1，y1)，(x2，y2)，而函數(shù)式為y=a(x-)，

　　故

　　∵a≠0，消去a可得(y2-y1)=x1y2-x2y1.

　　∵x1y2-x2y1是有理數(shù).

　　∴y2-y1=0，即y1=y2，

　　∴x1y1-x2y1=0.

　　即(x1-x2)y1=0.

　　若y1=0，則x1=，但這與假設(shè)矛盾，故不可能.

　　∴y1≠0，從而x1=x2也不可能.

　　∴y=ax+b不能有兩組以上的有理數(shù)的對(duì)應(yīng)值.

　　3.二次函數(shù)

　　關(guān)于二次函數(shù),我們最關(guān)心的是應(yīng)用二次函數(shù)的圖象和極值定理解一些應(yīng)用問(wèn)題.

　　例10(1987年浙江初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)設(shè)二次函數(shù)y=(a+b)x2+2cx-(a-b)，其中a，b，c是三角形的三邊，且b≥a,b≥c.已知x=-這個(gè)二次函數(shù)有最小值為-，求△ABC三內(nèi)角A、B、C的度數(shù).

　　解散 由題設(shè)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

　　(-，-)，即().

　　于是

　�、佗�

　　由①得a+b=2c，

　　代入②得(b-c)+(b-a)=0.

　　∵b≥a,b≥cb-c=0,b-a=0,

　　即 a=b=c.△ABC為正三角形,A=B=C=60°.

　　例11 (1989年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)如圖31-1,△ABC中,D、E分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，且∠1=∠2=∠3,如果△ABC,△EBD,△ADC的周長(zhǎng)依次為m,m1,m2,證明:

　　證明 由已知可得DE∥AC，進(jìn)而

　　△EBD∽△ABC∽△DAC. ①

　　∴②

　�、�

　　∴

　　于是有

　　在這里,我們是將看成關(guān)于的二次函數(shù),利用配方法來(lái)處理的.

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