2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競(jìng)賽講座(24)

　　練習(xí)二十一

　　1. 填空題

　　(1) 設(shè)方程的兩根為m，n(m>n)，則代數(shù)式的值是_______;

　　(2) 若r和s是方程x2-px+q=0的兩非零根,則以r2+和為根的方程是__________;

　　(3) 已知方程x2-8x+15=0的兩根可以寫(xiě)成a2+b2與a-b,其中a與b是方程x2+px+q=0的兩根,那么|p|-q=__________.

　　2.選擇題

　　(1)若p,q都是自然數(shù),方程px2-qx+1985=0的兩根都是質(zhì)數(shù),則12p2+q的值等于( ).

　　(A)404 (B)1998 (C)414 (D)1996

　　(2)方程的較大根為r,的較小根為s,則r-s等于( ).

　　(A) (B)1985 (C) (D)

　　(3)x2+px+q2=0(p≠0)的兩個(gè)根為相等的實(shí)數(shù)，則x2-qx+p2=0的兩個(gè)根必為( ).

　　(A) 非實(shí)數(shù) (B)相等兩實(shí)數(shù) (C)非實(shí)數(shù)或相等兩實(shí)數(shù) (D)實(shí)數(shù)

　　(4) 如果關(guān)于方程mx2-2(m+2)x+m+5=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那么關(guān)于x的方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為

　　(A)2 (B)1 (C)0 (D)不確定

　　3.(1983年杭州競(jìng)賽)設(shè)a1≠0，方程a1x2+b2x+c1=0的兩個(gè)根是1-a1和1+a1;a1x2+b1x+c2=0的兩個(gè)根是和;a1x2+b1x+c1=0的兩根相等，求a1，b1，c1，b2，c2的值.

　　4.常數(shù)a是滿足1≤a≤50的自然數(shù).若關(guān)于x的二次方程(x-2)2+(x-a)2=x2的兩根都是自然數(shù),試求a的值.

　　5.設(shè)x2、x2為正系數(shù)方程ax2+bx+c=0的兩根，x1+x2=m，x1·x2=n2，且m，n.求證:

　　(1) 如果m

　　(2) 如果m>n，那么方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

　　6.求作一個(gè)以兩正數(shù)α，β為根的二次方程，并設(shè)α，β滿足

　　7.(1987年全國(guó)初中競(jìng)賽題)當(dāng)a，b為何值時(shí)，方程x2+(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有實(shí)根?

　　8.(1985年蘇州初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)試證：1986不能等于任何一個(gè)整系數(shù)二次方程ax2+bx+c=0的判別式的值.

　　9.(第20屆全蘇中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)方程x2+ax+1=b的根是自然數(shù)，證明a2+b2是合數(shù).

　　10.(1972年加拿大試題)不用輔助工具解答：

　　(1) 證滿足的根在和197.99494949…間;

　　(2) 同(1)證<1.41421356.

　　練習(xí)二十一

　　1.(1)

　　(2)

　　(3)3.

　　2.C B A.

　　3.

　　4.x=a+2±由于x為自然數(shù)，可知a為完全平方數(shù)

　　即a=1，4，9，16，25，36，49.

　　5.略

　　6.3x2-7x+2=0.

　　7.因?yàn)榉匠逃袑?shí)根,所以判別式

　　8.設(shè)1986=4k+2(其中k是自然數(shù)).

　　令△=b2-4ac=4k+2,這時(shí)b2能被2整除,因而b也能被2整除.取b=2t,這時(shí)b2=4t2,且4t2-4ac=4k+2.這時(shí)等式左邊的數(shù)能被4整除,而右邊的數(shù)不能被4整除,得出矛盾,故命題得證.

　　10.由，可得x2-198x+1=0,其根

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