2. 韋達(dá)定理的應(yīng)用
例7 (1899年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題)假設(shè)x1、x2是方程x2-(a+d)x+ad-bc=0的根.證明這時(shí)是方程的根.
證明 由已知條件得
∴
=a3+d3+3abc+3bcd,
由韋達(dá)定理逆定理可知,、是方程
的根.
例8已知兩個(gè)系數(shù)都是正數(shù)的方程
a1x2+b1x+c1=0, ①
a2x2+b2x+c2=0, ②
都有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求證:
(1) 這兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是負(fù)值;
(2) 方程 a1a2x2+b1b2x+c1c2=0 ③
�、垡灿袃蓚€(gè)負(fù)根.
證明 ∵方程①有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,∴>0. ④
同理>0. ⑤
又a1、b1、c1都是正數(shù),∴>0,<0.
由此可知方程①的兩根是負(fù)值.同樣可證方程②的兩根也是負(fù)值.
顯然a1c1<4a1c1代入④,得>0, ⑥
由>0,得> ⑦
∴△
=
≥
=>0,
∴方程③也有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
又a1a2>0,b1b2>0,c1c2>0,
∴>0,
<0.
由此可知方程③的兩個(gè)根也是負(fù)值.
例9(1983年上海初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)對(duì)自然數(shù)n,作x的二次方程x2+(2n+1)x+n2=0,使它的根為αn和βn.求下式的值:
+
解 由韋達(dá)定理得
=
而
=(n≥3),
∴原式=
+
=
例10(1989年全國(guó)初中聯(lián)賽試題)首項(xiàng)不相等的兩個(gè)二次方程
(a-1)x2-(a2+2)x+(a2+2a)=0 ①
及(b-1)x2-(b2+2)x+(b2+2b)=0 ②
(其中a,b為正整數(shù))有一公共根,求的值.
解 由題得知,a,b為大于1的整數(shù),且a≠b.設(shè)x0是方程①②的公共根,則x0≠1,否則將x=1代入①得a=1,矛盾.得x0代入原方程,并經(jīng)變形得
③
及 ④
所以a,b是關(guān)于t的方程
相異的兩根,因此
于是 ab-(a+b)=2,即(a-1)(b-1)=3.
由 或
解得 或
∴
例11 (仿1986年全國(guó)高中聯(lián)賽題)設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足
�、佗�
求證:1≤a≤9.
證明 由①得bc=a2-8a+7.
�、�-②得 b+c=
所以實(shí)數(shù)b,c可看成一元二次方程
的兩根,則有△≥0,即
≥0,
即(a-1)(a-9)≤0,∴1≤a≤9.
例12 (1933年福建初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)求證:對(duì)任一矩形A,總存在一個(gè)矩形B,使得矩形A和矩形B的周長(zhǎng)和面積比都等于常數(shù)k(k≥1).
分析 設(shè)矩形A及B的長(zhǎng)度分別是a,b及x,y,為證明滿(mǎn)足條件的矩形B存在,只須證明方程組
(k,a,b為已知數(shù))
有正整數(shù)解即可.
再由韋達(dá)定理,其解x,y可以看作是二次方程
z2-k(a+b)z+kab=0的兩根.
∵k≥1,故判別式
△ =k2(a+b)2-4kab
≥k2(a+b)2-4k2ab
=k2(a-b)2≥0,
∴上述二次方程有兩實(shí)根z1,z2.
又z1+z2=k(a+b)>0,z1z2=kab>0,
從而,z1>0,z2>0,即方程組恒有x>0,y>0的解,所以矩形B總是存在的.
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