2010年考研數(shù)學(xué)階段復(fù)習(xí)小結(jié)之微積分篇

隨著季節(jié)逐步進(jìn)入炎炎夏日，考研復(fù)習(xí)也即將進(jìn)入暑期的強(qiáng)化復(fù)習(xí)階段，關(guān)于前一階段的復(fù)習(xí)成果大家一定要做一個(gè)小小的總結(jié)，以便迅速、科學(xué)地制定和調(diào)整下一階段的復(fù)習(xí)計(jì)劃。關(guān)于考研數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)，今天萬學(xué)海文數(shù)學(xué)教研室總結(jié)一下有關(guān)微積分的相關(guān)內(nèi)容，供大家參考。

本章的重點(diǎn)內(nèi)容是：

一、多元函數(shù)（主要是二元、三元）的偏導(dǎo)數(shù)和全微分概念；

二、偏導(dǎo)數(shù)和全微分的計(jì)算，尤其是求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)及隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；

三、方向?qū)��?shù)和梯度（只對數(shù)學(xué)一要求）；

四、多元函數(shù)微分在幾何上的應(yīng)用（只對數(shù)學(xué)一要求）；

五、多元函數(shù)的極值和條件極值。

本章的常見題型有：

1．求二元、三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全微分。

2．求復(fù)全函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)；隱函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)。

3．求二元、三元函數(shù)的方向?qū)��?shù)和梯度。

4．求空間曲線的切線與法平面方程，求曲面的切平面和法線方程。

5．多元函數(shù)的極值在幾何、物理與經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用題。

第4類題型，是多元函數(shù)的微分學(xué)與前一章向量代數(shù)與空間解析幾何的綜合題，應(yīng)結(jié)合起來復(fù)習(xí)。

極值應(yīng)用題多要用到其他領(lǐng)域的知識，特別是在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用涉及到經(jīng)濟(jì)學(xué)上的一些概念和規(guī)律，讀者在復(fù)習(xí)時(shí)要引起注意。一元函數(shù)微分學(xué)在微積分中占有極重要的位置，內(nèi)容多，影響深遠(yuǎn)，在后面絕大多數(shù)章節(jié)要涉及到它。

本章內(nèi)容歸納起來，有四大部分：

1．概念部分，重點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)和微分的定義，特別要會(huì)利用導(dǎo)數(shù)定義講座分段函數(shù)在分界點(diǎn)的可導(dǎo)性，高階導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；

2．運(yùn)算部分，重點(diǎn)是基本初等函的導(dǎo)數(shù)、微分公式，四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)、微分公式以及反函數(shù)、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)公式等；

3．理論部分，重點(diǎn)是羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理；

4．應(yīng)用部分，重點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)（包括函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)圖形的凹凸性與拐點(diǎn)，漸近線），最值應(yīng)用題，利用洛必達(dá)法則求極限，以及導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用，如"彈性"、"邊際"等等。

常見題型有：

1．求給定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分（包括高階段導(dǎo)數(shù)），包括隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)。

2．利用羅爾定理，拉格朗定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理證明有關(guān)命題和不等式，如"證明在開區(qū)間至少存在一點(diǎn)滿足……"，或討論方程在給定區(qū)間內(nèi)的根的個(gè)數(shù)等。

此類題的證明，經(jīng)常要構(gòu)造輔助函數(shù)，而輔助函數(shù)的構(gòu)造技巧性較強(qiáng)，要求讀者既能從題目所給條件進(jìn)行分析推導(dǎo)逐步引出所需的輔助函數(shù)，也能從所需證明的結(jié)論（或其變形）出發(fā)"遞推"出所要構(gòu)造的輔函數(shù)，此外，在證明中還經(jīng)常用到函數(shù)的單調(diào)性判斷和連續(xù)數(shù)的介值定理等。

3．利用洛必達(dá)法則求七種未定型的極限。

4．幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等方面的最大值、最小值應(yīng)用題，解這類問題，主要是確定目標(biāo)函數(shù)和約束條件，判定所論區(qū)間。

5．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)和描繪函數(shù)圖像，等等。