| 第 1 頁：第一章 珠算的基礎(chǔ)知識(shí) |
| 第 2 頁：第二章 珠算加減法 |
| 第 3 頁：第三章 珠算乘法 |
| 第 4 頁：第四章 珠算除法 |
| 第 5 頁：第五章 珠算差錯(cuò)查找方法 |
第四章 珠算除法
【基本要求】
1.了解除法的種類
2.了解除法的運(yùn)算順序
3.熟悉除法的簡(jiǎn)便算法
4.掌握珠算除法的定位方法
5.掌握常用的珠算除法
6.掌握退商與補(bǔ)商
【考試內(nèi)容】
第一節(jié) 珠算除法原理
一、除法的種類
珠算除法的種類很多，有歸除法、扒皮除法、加減代除法、商除法、改商除法等。
除法按照估商方法的不同，分為歸除法和商除法;按照立商的檔位不同，又可以分為隔位除法和不隔位除法(又稱挨位除法)。
按照商除法的估商方法、歸除法的置商及減積法則來進(jìn)行運(yùn)算的一種既快又準(zhǔn)的珠算除算方法被稱為改商除法(又稱為不隔位商除法)。
二、除法的運(yùn)算順序
除法的運(yùn)算順序如下：將被除數(shù)按要求布入算盤，然后采用大九九口訣，從左到右，先從被除數(shù)的首位數(shù)除起，逐位迭減試商與除數(shù)的乘積，依次除至末位數(shù)，計(jì)算出得數(shù)。
三、除法口訣
除法是乘法的逆運(yùn)算，在商除法下，可以按照乘法大九九口訣估商。
第二節(jié) 珠算除法的定位方法
一、固定個(gè)位法
固定個(gè)位法，又稱算前定位法，即首先在算盤上確定個(gè)位檔，然后置數(shù)上盤進(jìn)行運(yùn)算，盤上得數(shù)即為所求的商數(shù)。
隔位除法下，被除數(shù)首位數(shù)入盤的位置是根據(jù)被除數(shù)的位數(shù)(m)與除數(shù)的位數(shù)(n)之差再減1(即m-n-1)來確定，如果差為1(即正一位)，就將被除數(shù)首位數(shù)置于既定的個(gè)位檔上;如果差為2(即正二位)，就將被除數(shù)首位數(shù)置于個(gè)位檔左邊的十位檔上;如果差為0(即零位)，就將被除數(shù)首位數(shù)置于個(gè)位檔右邊的十分位檔上;如果差為-1(即負(fù)一位)，就將被除數(shù)首位數(shù)置于個(gè)位檔右邊的百分位檔上，其他依此類推。
不隔位商除法下，被除數(shù)首位數(shù)入盤的位置則以被除數(shù)的位數(shù)(m)與除數(shù)的位數(shù)(n)之差(即m-n)為基礎(chǔ)來確定。
二、公式定位法
公式定位法，又稱算后定位法。該法下，先將被除數(shù)首位數(shù)與除數(shù)首位數(shù)進(jìn)行比較，然后以被除數(shù)的位數(shù)(m)與除數(shù)的位數(shù)(n)之差(即m-n)為基準(zhǔn)來確定商數(shù)的位數(shù)。
具體有三種情形：
1.被首小，位相減
被除數(shù)首位數(shù)小于除數(shù)首位數(shù)時(shí)，被除數(shù)的位數(shù)減除數(shù)的位數(shù)，就是商數(shù)的位數(shù)。
即：商數(shù)的位數(shù)(以下簡(jiǎn)稱商位)=m-n
2.被首大，減后加1
被除數(shù)首位數(shù)大于除數(shù)首位數(shù)時(shí)，被除數(shù)的位數(shù)減除數(shù)的位數(shù)加上1，就是商數(shù)的位數(shù)。
即：商位=m-n+1
3.首位等，比下位
如果被除數(shù)的首位數(shù)與除數(shù)的首位數(shù)相等時(shí)，就比較二者的第二位數(shù)，如果仍相等，就依次比較第三位數(shù)，依此類推，直至末位數(shù)，如果仍均相等，則視同被除數(shù)首位數(shù)大。在比較過程中，只要二者不相等，就按照前述兩種情形確定商數(shù)的位數(shù)。
第三節(jié) 常用的珠算除法
一、隔位商除法
商除法是指兩數(shù)相除時(shí)，用被除數(shù)與除數(shù)進(jìn)行比較，心算估商，然后用大九九口訣，將估算的商數(shù)與除數(shù)相乘，從被除數(shù)中減去乘積，得出商數(shù)。
這種方法的優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)算原理與筆算除法基本類似，易學(xué)，計(jì)算速度快。
(一)隔位商除法的計(jì)算步驟
1.置數(shù)
采用固定個(gè)位法時(shí)，以m-n-1為基礎(chǔ)確定被除數(shù)首位數(shù)應(yīng)撥入的檔位，依次布入被除數(shù)。
2.估商
用被除數(shù)除以除數(shù)，確定商數(shù)是幾。
3.置商
夠除，隔位商;不夠除，挨位商。
4.減去乘積
置商后，按照從被除數(shù)首位數(shù)起，由高位到低位，從被除數(shù)中減去商數(shù)與除數(shù)的乘積。每置一次商即減一次乘積，直至達(dá)到要求為止。
5.確定商數(shù)
運(yùn)算完成后，反映在算盤上的數(shù)，即為商數(shù)。
(二)隔位商除法的具體應(yīng)用
1.一位除法
一位除法，是指除數(shù)只有一位非零數(shù)字的除法。不論被除數(shù)是多少位，只要除數(shù)是一位非零數(shù)字，都稱為一位除法。
2.多位除法
多位除法，是指除數(shù)為兩位或兩位以上非零數(shù)字的除法。不論被除數(shù)是多少位，只要除數(shù)為兩位或兩位以上非零數(shù)字，都稱為多位除法。
多位除法的運(yùn)算原理與一位除法一致，只是在首次估商時(shí)，可以運(yùn)用以下估商法則：(1)被除數(shù)首位數(shù)大于或等于除數(shù)的首位數(shù)，且除數(shù)的第二位數(shù)小于5時(shí)，在被除數(shù)首位數(shù)內(nèi)運(yùn)用除數(shù)首位數(shù)估商;(2)被除數(shù)首位數(shù)大于或等于除數(shù)的首位數(shù)，且除數(shù)的第二位數(shù)大于5時(shí)，在被除數(shù)首位數(shù)內(nèi)運(yùn)用除數(shù)首位數(shù)加1估商;(3)被除數(shù)首位數(shù)小于除數(shù)的首位數(shù)，且除數(shù)的第二位數(shù)小于5時(shí)，在被除數(shù)首位數(shù)和第二位數(shù)內(nèi)運(yùn)用除數(shù)首位數(shù)估商;(4)被除數(shù)首位數(shù)小于除數(shù)的首位數(shù)，且除數(shù)的第二位數(shù)大于5時(shí)，在被除數(shù)首位數(shù)和第二位數(shù)內(nèi)運(yùn)用除數(shù)首位數(shù)加1估商。在后續(xù)運(yùn)算的估商中，依此類推。
二、不隔位商除法
不隔位商除法即挨位商除法，也稱改商除法，它是對(duì)隔位商除法進(jìn)行改進(jìn)的一種運(yùn)算方法，其運(yùn)算原理與隔位商除法一致，只是在定位和置商時(shí)的檔位有所不同。
這種方法的優(yōu)點(diǎn)是占用檔位少，簡(jiǎn)化了運(yùn)算程序，撥珠次數(shù)相應(yīng)減少，計(jì)算速度快。
改商除法的計(jì)算步驟是：
1.置數(shù)
采用固定個(gè)位法時(shí)，以m-n為基礎(chǔ)確定被除數(shù)首位數(shù)應(yīng)撥入的檔位，依次布入被除數(shù)。
2.估商
用被除數(shù)除以除數(shù)，確定商數(shù)是幾。
在首次估商時(shí)，可以運(yùn)用以下估商法則：(1)被除數(shù)首位數(shù)大于或等于除數(shù)的首位數(shù)，且除數(shù)的第二位數(shù)小于5時(shí)，在被除數(shù)首位數(shù)內(nèi)運(yùn)用除數(shù)首位數(shù)估商;(2)被除數(shù)首位數(shù)大于或等于除數(shù)的首位數(shù)，且除數(shù)的第二位數(shù)大于5時(shí)，在被除數(shù)首位數(shù)內(nèi)運(yùn)用除數(shù)首位數(shù)加1估商;(3)被除數(shù)首位數(shù)小于除數(shù)的首位數(shù)，且除數(shù)的第二位數(shù)小于5時(shí)，在被除數(shù)首位數(shù)和第二位數(shù)內(nèi)運(yùn)用除數(shù)首位數(shù)估商;(4)被除數(shù)首位數(shù)小于除數(shù)的首位數(shù)，且除數(shù)的第二位數(shù)大于5時(shí)，在被除數(shù)首位數(shù)和第二位數(shù)內(nèi)運(yùn)用除數(shù)首位數(shù)加1估商。在后續(xù)運(yùn)算的估商中，依此類推。
3.置商
夠除，挨位商;不夠除，本位改作商。
4.減積的檔位
置商后，按照從被除數(shù)首位數(shù)起，由高位到低位，從被除數(shù)中減去商數(shù)與除數(shù)的乘積。每置一次商即減一次乘積，直至達(dá)到要求為止。
5.商數(shù)
運(yùn)算完成后，反映在算盤上的數(shù)，就是商數(shù)。
三、省除法
省除法是指在不能整除的除法運(yùn)算中，按要求省略余數(shù)并調(diào)整最末位商，使商數(shù)保留一定位數(shù)(如保留兩位小數(shù))的一種除法。因此，省除法下的商數(shù)為近似值。
采用固定個(gè)位法時(shí)，省除法較為簡(jiǎn)便，因?yàn)樯虜?shù)要求保留到哪位，就運(yùn)算到哪位，然后比較余數(shù)與除數(shù)的前兩位有效數(shù)字，若余數(shù)的前兩位有效數(shù)字小于除數(shù)前兩位有效數(shù)字的一半時(shí)，則舍去;反之，就在最末位的商數(shù)上加1.運(yùn)算完成后，盤上數(shù)即為商數(shù)。
第四節(jié) 退商與補(bǔ)商
退商與補(bǔ)商是試商差誤的矯正方法。
一、退商
在多位數(shù)除法運(yùn)算過程中，估商過大導(dǎo)致被除數(shù)不夠減去商與除數(shù)的乘積時(shí)，只能將商改小。如果開始置商就發(fā)現(xiàn)不夠減乘積，就直接將商改小，直到夠減為止。如果置商后已減過乘積后才發(fā)現(xiàn)商過大，只能退商，商數(shù)退幾，就在置商右邊相應(yīng)的檔位上，補(bǔ)加該數(shù)與除數(shù)的乘積。
二、補(bǔ)商
在運(yùn)算中，估商過小導(dǎo)致被除數(shù)減去商與除數(shù)的乘積后，余數(shù)中含有除數(shù)的一倍甚至幾倍，這時(shí)，有幾倍就在商中再補(bǔ)加幾，同時(shí)在被除數(shù)里減去幾倍除數(shù)。
在被除數(shù)一定的情況下，由于對(duì)商影響較大的首先是除數(shù)的首位數(shù)，然后是除數(shù)的第二位數(shù)，因此，估商時(shí)可以運(yùn)用估商法則。估商法則對(duì)大部分算題都能解決，解決不了的，仍需要退商與補(bǔ)商。
第五節(jié) 除法的簡(jiǎn)便算法
一、補(bǔ)數(shù)除法
補(bǔ)數(shù)除法是指在除數(shù)接近10的整數(shù)次冪的除法運(yùn)算中，利用齊數(shù)與補(bǔ)數(shù)的關(guān)系，通過加減除數(shù)的補(bǔ)數(shù)來減少撥珠次數(shù)的一種簡(jiǎn)便除法。
在補(bǔ)數(shù)除法中，每次估定的商數(shù)是幾，就在被除數(shù)相應(yīng)檔位加上該商數(shù)與除數(shù)補(bǔ)數(shù)的乘積(以下用P代替)。該乘積P視具體情況加入被除數(shù)：(1)被除數(shù)不夠除時(shí)，就在下檔加上P，但如果P的位數(shù)比補(bǔ)數(shù)位數(shù)多一位(積首進(jìn)位)，就在本檔加上P.(2)被除數(shù)夠除時(shí)，就在本檔加上P，但如果P的位數(shù)比補(bǔ)數(shù)位數(shù)多一位，就在前檔加上P。
在P加入被除數(shù)得出的和中，如果本檔數(shù)字與估定的商相同，這個(gè)數(shù)字就是商數(shù);如果不同，就需要退商或補(bǔ)商。
(一)補(bǔ)數(shù)加除法
補(bǔ)數(shù)加除法是指不需要退商的補(bǔ)數(shù)除法。其商數(shù)的確定有兩種情形：(1)將P加入被除數(shù)得出的和中，如果本檔數(shù)字與估定的商相同，這個(gè)數(shù)字就是商數(shù);(2)如果本檔數(shù)字比估定的商大，就繼續(xù)加補(bǔ)數(shù)(即補(bǔ)商)，調(diào)整使其一致。當(dāng)本檔數(shù)字小于估定的商時(shí)，就用補(bǔ)數(shù)加減結(jié)合除法。
(二)補(bǔ)數(shù)加減結(jié)合除法
補(bǔ)數(shù)加減結(jié)合除法是指由于本檔數(shù)字比估定的商小，需要減去補(bǔ)數(shù)(即退商)使其一致的補(bǔ)數(shù)除法。
二、倒數(shù)除法
在除法運(yùn)算中，根據(jù)除法與乘法互逆的運(yùn)算性質(zhì)，可以以乘代除，即某數(shù)除以任何不為零的數(shù)，均可以乘以其倒數(shù)，這種方法叫做倒數(shù)除法。
這種方法的優(yōu)點(diǎn)是：由于有些除數(shù)的倒數(shù)很容易求出，以乘代除，可以提高計(jì)算速度。
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