國(guó)家公務(wù)員考試的難度讓許多人都大喊太難了，但是為了上岸，我們能做的就是不斷地充實(shí)自己，完善自己。容斥問(wèn)題作為國(guó)家公務(wù)員考試考試時(shí)的必考點(diǎn)，它的解題方法和技巧我們必須要牢固的掌握，才能更好地迎接考試，甚至是做到快人一步。為此，考試吧給大家整理了容斥問(wèn)題在做題時(shí)的常用技巧。
一、概念
容斥問(wèn)題即包含與排斥問(wèn)題，它是一種計(jì)數(shù)問(wèn)題。在計(jì)數(shù)時(shí)，幾個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從他們的和中排除重復(fù)部分，采用這種計(jì)數(shù)方法的題型稱(chēng)為容斥問(wèn)題。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是要做到不重不漏。此類(lèi)題目的題目特點(diǎn)為：題中給出多個(gè)概念，各個(gè)概念之間有集合關(guān)聯(lián)。
二、解題原則
將重復(fù)計(jì)數(shù)的次數(shù)變?yōu)橐淮�，或者說(shuō)是把重疊的面積變?yōu)橐粚�，做到不重不漏。即先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)量先計(jì)算出來(lái)，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)量剔除掉，把遺漏的數(shù)量補(bǔ)上，使得計(jì)算結(jié)果既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù)。
三、解題方法——公式法
1.兩者容斥： 2.三者容斥： 3.容斥極值： 四、經(jīng)典例題
【例1】某科研單位共有68名科研人員，其中45人具有碩士以上學(xué)歷，30人具有高級(jí)職稱(chēng)，12人兼而有之。既沒(méi)有高級(jí)職稱(chēng)也沒(méi)有碩士以上學(xué)歷的科研人員有多少人?
A.13 B.10 C.5 D.8
【解析】C。根據(jù)題目可知題中涉及的項(xiàng)目共有兩個(gè)，屬于二者容斥的問(wèn)題。直接利用兩者容斥的公式將相關(guān)數(shù)據(jù)帶入可得： ，求得 。選擇C選項(xiàng)。
【例2】學(xué)校開(kāi)設(shè)三門(mén)選修課，某年級(jí)有240人，其中有120人選擇英語(yǔ)寫(xiě)作，有95人選擇書(shū)法，有78人選擇精算學(xué)，其中有105人選擇三種學(xué)科中的至少兩種，30人三中學(xué)科都選擇了，問(wèn)該年級(jí)三種都沒(méi)選的有多少人?
A.122 B.82 C.112 D.216
【解析】B。認(rèn)真分析題目不難發(fā)現(xiàn)題中共出現(xiàn)了三個(gè)項(xiàng)目，因此該題為三者容斥問(wèn)題。在該題中要注意的是題中說(shuō)有105人選擇三種學(xué)科中的至少兩種，至少兩種包含了兩種及三種兩種情況。因此根據(jù)公式結(jié)合不重不漏的原則可得： ,將相關(guān)數(shù)據(jù)帶入可以求得： 。故選擇B。
【例3】一次考試共有200人參加，試卷共5道題，凡答對(duì)3題或3題以上就為合格�？荚嚱Y(jié)果為：答錯(cuò)第一題的28人，答錯(cuò)第二題的42人，打錯(cuò)第三題的30人，答錯(cuò)第四題的32人，答錯(cuò)第五題的18人，則合格的至少有多少人?
A.120 B.175 C.150 D.100
【解析】C。分析題目可知題中涉及的項(xiàng)目較多有5項(xiàng)，且題干要求的是合格人數(shù)至少位多少，可以初步判定此為容斥極值問(wèn)題。但是分析后會(huì)發(fā)現(xiàn)直接求解合格人數(shù)至少有多少無(wú)法求解，此時(shí)需要反向去求。要求合格人數(shù)至少即求不合格人數(shù)至多。要求不合格人數(shù)最多，根據(jù)題目可知當(dāng)每人只錯(cuò)三題時(shí)不合格人數(shù)最多。而答錯(cuò)的總題數(shù)為： ，所以不合格人數(shù)最多為 ，則合格人數(shù)至少為： 。選擇C選項(xiàng)。
容斥問(wèn)題在考試過(guò)程中若出題較為簡(jiǎn)單則直接利用公式法求解即可，偶爾也可以結(jié)合文氏圖進(jìn)行加以分析幫助思路更加的清晰。而要注意的是在多者容斥極值中需要我們更加的用心和細(xì)心的去分析題干。千磨萬(wàn)擊還堅(jiān)勁，任爾東西南北風(fēng)，因此只要我們將基礎(chǔ)打扎實(shí)了，多加練習(xí)，相信大家都能成功上岸!
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