2018年國考行測《數(shù)量關(guān)系》雞兔同籠知識點儲備

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　　一、考情分析

　　雞兔同籠問題在最近幾年的國家公務(wù)員考試中已經(jīng)不多見了，但是偶爾還會出現(xiàn)。在各省的公務(wù)員考試中，這類問題出現(xiàn)的頻率還是比較高�？v觀這幾年的考題，雞兔同籠問題難度越來越大，考生需要熟練掌握其解題方法。

　　二、問題概述

　　“雞兔同籠”是我國古代的一類有名的算術(shù)題，最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中。閑話插一句，《孫子算經(jīng)》大約是公元四、五世紀寫的，離現(xiàn)在已經(jīng)有一千多年的歷史了，這本書是我國有名的《算經(jīng)十書》里面的一本，大家有興趣可以去看一下。

　　話題轉(zhuǎn)回來，《孫子算經(jīng)》里面有這么一道題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何?”轉(zhuǎn)化成為現(xiàn)在的話來說就是：“現(xiàn)在把一群雞和一群兔子關(guān)到一起，有個人去數(shù)一下，從上面數(shù)，發(fā)現(xiàn)一共有35個頭，從下面數(shù)，發(fā)現(xiàn)有94條腿，問有多少只雞，多少只兔子?”

　　下面我們來介紹兩種方法來解決這個問題。

　　三、解題方法

　　(一)假設(shè)法

　　首先我們用一種常規(guī)的方法來做做這道題。我們知道，一只雞有2條腿，一只兔子有4條腿，現(xiàn)在一共有35只動物，卻有94條腿，說明雞和兔都是存在的。我們假設(shè)所有的動物都是雞，那么35個動物就應(yīng)該有70條腿，這樣就少了24條腿，對吧?大家可以想一想，這24條腿是從何而來的?原因就出在我們的假設(shè)中，我們把所有的動物都看成是雞，而實際上每一只兔子是比雞多了2條腿，這24條腿應(yīng)該就是因為我們把12只兔子看成了雞，也就是說應(yīng)該有12只兔子，那雞就應(yīng)該有35-12=23只。

　　我們總結(jié)一下上面的推導(dǎo)過程，可以知道“設(shè)雞求兔”的公式為：

　　兔頭數(shù)=(總足數(shù)-2×總頭數(shù))÷(4-2)

　　雞頭數(shù)=總頭數(shù)-兔頭數(shù)

　　我們還可以通過假設(shè)全部動物是兔子來求。如果所有的動物都是兔子，那么就應(yīng)該有4×35=140條腿，比已知多了46條腿，我們也可以很明顯看出，這46條腿就是我們把雞算成了兔子的結(jié)果，每一只雞多算了2條腿，所以，雞的數(shù)量應(yīng)該是46÷2=23只，兔子的數(shù)量為35-23=12只。兩種方法得出來的結(jié)果完全一樣。

　　我們同樣總結(jié)一下，“設(shè)兔求雞”的公式為：

　　雞頭數(shù)=(4×總頭數(shù)-總足數(shù))÷(4-2)

　　兔頭數(shù)=總頭數(shù)-雞頭數(shù)

　　大家注意一下這兩組公式，很重要的結(jié)論就出來了：

　　我們?nèi)绻笸玫臄?shù)量，就要把所有的動物假設(shè)為雞來求;如果要求雞的數(shù)量，那就把所有的動物假設(shè)是兔子。也就是說，在雞兔同籠問題中，如果我們要求其中一種東西時，就把所有的東西都當成是另一種東西，這樣就能求出它的數(shù)量了。

　　(二)方程法

　　也許有同學(xué)覺得剛才的假設(shè)法很復(fù)雜，想起來總是在繞圈子，那么我現(xiàn)在來介紹另外一種簡單明了的方法——方程法。還是上面那道題，我們再來仔細看一下，題目要求的是雞和兔子的數(shù)量，那我們簡單的把雞的數(shù)量寫成雞，兔的數(shù)量寫成兔，也就是說雞+兔=35�，F(xiàn)在再來看腿的情況，雞有2條腿，兔有4條腿，那么來算腿的數(shù)量，就有2雞+4兔=94。我們現(xiàn)在把兩個方程放到一起：雞+兔=35，2雞+4兔=94，這個方程很容易能夠解出來，大家可以算一下，得到，雞有23只，兔有12只。

　　用方程法來解這類問題，只需要分別假設(shè)出這些東西的數(shù)量，然后很容易就能列出二元一次方程組來求解。

　　四、題型精講

　　我們現(xiàn)在來看看雞兔同籠問題中�？嫉膸追N情況。

　　(一)基礎(chǔ)題型：已知頭數(shù)和腿數(shù)，求各自的數(shù)量

　　這是最基礎(chǔ)的題型，大家可以嘗試著分別用以上兩種方法來試一下。

　　例題1：在同一個籠子中，有若干只雞和兔，從籠子上看有40個頭，從籠子下數(shù)有130只腳，那么這個籠子中裝有兔、雞各多少只?

　　【答案詳解】方法一，利用假設(shè)法。假設(shè)全是雞或全是兔，腳的總數(shù)必然要多或少，通過腳數(shù)與實際數(shù)之差，可以知道造成差的原因，于是知道應(yīng)有多少只兔或應(yīng)有多少只雞。

　　設(shè)雞求兔：

　　兔：(130-2×40)÷(4-2)=25

　　雞：40-25=15

　　設(shè)兔求雞：

　　雞：(4×40-130)÷(4-2)=15

　　兔：40-15=25

　　方法二，利用方程法。設(shè)籠子中裝有雞、兔分別為x只、y只，則根據(jù)條件可得

　　x+y=40，2x+4y=130。 解得x=15，y=25。

　　(二)已知頭數(shù)與腿數(shù)之差，求各自的數(shù)量

　　這類問題會告訴你，雞和兔子一共有多少只，然后告訴你雞的總腿數(shù)比兔多多少，或者少多少，然后讓你來求雞和兔子的數(shù)量。大家來看一下這道題，看看應(yīng)該怎么來做。

　　例題2：雞與兔共100只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少28，問雞與兔各幾只?

　　【答案詳解】方法一，假如再補上28÷2=14只雞，那么雞與兔腳數(shù)就相等，每只兔的腳數(shù)是每只雞的腳數(shù)的2倍，則雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍，所以

　　兔：(100+14)÷(2+1)=38只，

　　雞：100-38=62只;

　　當然也可以去掉兔28÷4=7只，

　　兔：(100-7)÷(2+1)+7=38只，

　　雞：100-38=62只。

　　方法二，任意假設(shè)一個數(shù)。

　　假設(shè)有50只雞，就有兔100-50=50只。此時腳數(shù)之差是4×50-2×50=100，比28多了72，就說明假設(shè)的兔數(shù)多了、雞數(shù)少了。為保持總數(shù)是100，一只兔換成一只雞，少了4只兔腳，多了2只雞腳，相差為6只(注意不是2)。因此要減少的兔數(shù)是：

　　(100-28)÷(4+2)=12只，

　　兔：50-12=38只。

　　雞：50+12=62只。

　　方法三，方程法。

　　設(shè)雞有x只、兔有y只，則

　　x+y=100，4y-2x=28，解得x=62，y=38。

　　(三)“三者同籠”問題

　　有時候大家覺得兩種動物放在一起還不夠復(fù)雜，這時候他們會把三種動物放在一起，然后讓你們來求。大家來看看下面這道題：

　　例題3：蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀，現(xiàn)在這三種小蟲共18只，有118條腿和18對翅膀，蜘蛛、蜻蜓、蟬各幾只?

　　A.5、5、8 B.5、5、7 C.6、7、5 D.7、5、6

　　【答案詳解】這是一道三者同籠的“雞兔同籠”問題。首先，蜻蜓和蟬都是6條腿，計算腿的數(shù)量時將它們作為一個整體考慮，假設(shè)全是6條腿的小蟲，則可知蜘蛛的數(shù)量。

　　蜘蛛有(118-6×18)÷(8-6)=5只，那么蜻蜓和蟬共有18-5=13只。

　　再假設(shè)這13只都是蟬，則可知蜻蜓的數(shù)量。

　　蜻蜓有(18-1×13)÷(2-1)=5只，蟬有13-5=8只。

　　大家可以看出來，這類問題實際上還是把三種動物轉(zhuǎn)化成兩種動物來求。

　　“雞兔同籠”問題的解法一般只適用于兩類不同物體間的關(guān)系，而題目中涉及到三類不同的物體時，我們需要找到其中兩類物體的共同點，把他們看成一個整體，從而把三類物體間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩類物體間的關(guān)系。

　　(四)雞兔同籠問題變形

　　大家再來看看這幾道題，雖然沒有雞、沒有兔子，但是他們還是雞兔同籠問題。

　　例題4：有大小兩個瓶，大瓶可以裝水5千克，小瓶可以裝水1千克，現(xiàn)在有100千克水共裝了52瓶。問大瓶和小瓶相差多少個?

　　A.26個 B.28個 C.30個 D.32個

　　【答案詳解】此題屬于“雞兔同籠”問題。利用假設(shè)法，假設(shè)都是裝1千克水的小瓶，則共裝水52千克，現(xiàn)在多裝了100-52=48千克(即總量的差)，因為每差5-1=4千克(即單位量的差)就說明有一個大瓶，那么大瓶共有48÷4=12個，小瓶有52-12=40個，兩者相差40-12=28個。

　　例題5：小明每天必須做家務(wù)，做一天可得3元錢，做得特別好時每天可得5元錢，有一個月(30天)他共得100元，這個月他有( )天做得特別好。

　　A.2 B.3 C.5 D.7

　　【答案詳解】假設(shè)每天都得3元錢，那么他一個月應(yīng)得30×3=90元，而實際得到100元，做得特別好時每天可多得5-3=2元，則這個月有(100-90)÷(5-3)=5天做得特別好。

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