2018年國考行測《數量關系》同余特性巧解不定方程

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　　在行測考試中的數學運算中，我們常常會碰到一些要求解多元不定方程的題目，一些簡單的不定方程我們可以通過尾數、奇偶性、整除、特值或者直接代入解出，而遇到稍微復雜一點的方程，以上方法就不易使用了。接下來將通過詳細介紹幫助大家進一步的理解同余特性解方程的方法和本質，以便大家能夠靈活的利用同余特性解方程。

　　一、同余系

　　整數a除以整數b，得到正余數為c,c±kb(k為自然數)均為a除以b的余數。，屬同余系。例：-2,1,4,7都屬于16÷3的余數。

　　二、同余特性

　　性質一：余數的和決定和的余數

　　例：13÷4…1，21÷4…1，余數的和為2，和為13+21=34，34÷4…2，所以說余數的和決定和的余數。

　　性質二：余數的差決定差的余數

　　例：15÷4…3，22÷4…2，余數的差為-1，差為22-15=7，7÷4…3(相當于余-1)，所以說余數的差決定差的余數。

　　性質三：余數的積決定積的余數

　　例：30÷4…2，18÷4…2，余數的積為4，積為30×18=540，540÷4…0，余數為0，余數的積為4，4÷4…0，所以說余數的積決定積的余數，而不是等于。

　　性質四：余數的冪決定冪的余數

　　例：53÷3=125÷3…2，5÷3余數為2，余數的冪為23=8，8÷3…2，所以余數的冪決定冪的余數。

　　三、同余特性解不定方程

　　例1：x+3y=100，x、y皆為整數，則x是多少?

　　A.41 B.42 C.43 D.44

　　【解析】C。3y能被3整除，100÷3…1，根據余數的和決定和的余數得x除以3余數為1，所以選擇C。

　　例題2：7a+8b=111，已知a，b為正整數，且a>b，則a-b=?

　　A.2 B.3 C.4 D.5

　　【解析】B。8b除以8余0 ,而111÷8除以8余7，利用同余特性余數的和決定和的余數， 7a÷8余數為7，再利用余數的積決定積的余數，得到a÷8余1。正整數范圍內第一個÷8余數為1的數，而題干要求a大于b，而1是最小的正整數，因此a不能等于1 ,下一個÷8余1的數為9，此時b=6，恰好滿足a-b都為正整數，且a大于b ,因此a-b等于3 ,結合選項，選擇B。

　　另解：7a÷3余a,8b÷3余-b，所以(7a+8b)÷3余數為a-b，111÷3余數為0,同余3，所以選B。

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