2018年國考行測《數(shù)量關(guān)系》加法原理解決樓梯問題

　　在數(shù)量關(guān)系中，有一類排列組合問題被稱為“爬樓梯”問題。題目描述如下：有n階臺階，每次可以登a階或者b階，問要登上第n階臺階一共有多少種方法。這種題目，很多同學(xué)不明白其中的道理，遇到之后都無從下手，考試吧就帶領(lǐng)大家來梳理此類問題的具體解法。

　　一、母題演示

　　12階臺階，每次可以登上1階或者2階，請問有多少種走法?

　　A.233 B.300 C.350 D.364

　　思考：從最后的爬樓梯狀態(tài)入手，要想登上第12階，我們可以從第11階登一步，也可以從第10階登兩步，均可以達(dá)到目的。也就是說，登上第12階的方法可以分成兩類，表示成S(12)=S(11)+S(10)，其中S(12)為爬上12階的總方法，S(11)為爬上11階的總方法。同理S(11)=S(10)+S(9)。

　　以此類推，本題的解題遞推公式就是S(n)=S(n-1)+S(n-2)。接下來只需要通過枚舉法求出S(1)=1、S(2)=2即可。

　　下面對此類問題的解決方法進(jìn)行總結(jié)：

　�、偻ㄟ^分析最后爬樓梯的狀態(tài)，確定遞推公式;②通過枚舉求出前若干項(xiàng);③通過畫表格求出答案。

　　二、舉一反三

　　例1：12階臺階，每次可以登上1階或者3階臺階，請問有多少種走法?

　　【解析】：第一步：分析最后的狀態(tài)，可以分為從11階登一步上去，或者從第9階登三步上去兩大類，所以S(12)=S(11)+S(9)，以此類推，S(n)=S(n-1)+S(n-3);

　　第二步：枚舉S(1)=1、S(2)=1,、S(3)=2;

　　第三步：畫表格求答案。

　　例2：12階臺階，每次可以登上1階或者2階或者3階臺階，請問有多少種走法?

　　【解析】：第一步：分析最后的狀態(tài)，可以從11階登一步上去，或者從第10階登二步上去，還可以從第9階登3步上去，共計(jì)三類，所以S(12)=S(11)+S(10)+S(9)，以此類推，S(n)=S(n-1)+S(n-2)+S(n-3);

　　第二步：枚舉S(1)=1、S(2)=2、S(3)=4;

　　第三步：畫表格求答案。

　　

　　通過以上幾道題目，大家會發(fā)現(xiàn)，爬樓梯問題是加法原理的基本應(yīng)用，所以只要我們明白了其中的道理，學(xué)會基本步驟，就可以快速解決這一類問題。

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