在公務(wù)員行測考試中,拉燈問題是困惑很多考生的難題,特別是當(dāng)燈的總數(shù)量比較大的時候,如何來確定最終亮著的或滅掉的燈的數(shù)量是此類問題的關(guān)鍵。
1、初等拉燈問題——倍數(shù)、約數(shù)
例1:走廊里有10盞電燈,從1到10編號,開始時電燈全部關(guān)閉。有10個學(xué)生依次通過走廊,第1個學(xué)生把所有的燈繩都拉了一下,第2個學(xué)生把2的倍數(shù)號的燈繩都拉了一下,第3個學(xué)生把3的倍數(shù)號的燈繩都拉了一下……第10個學(xué)生把第10號燈的燈繩拉了一下。假定每拉動一次燈繩,該燈的亮與不亮就改變一次。試判定:當(dāng)這10個學(xué)生通過走廊后,走廊里有多少盞燈是亮的?
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】
(1)原來電燈全部關(guān)閉,拉一下,亮著;拉兩下,滅了;拉三下,亮著。因此,燈繩被拉動奇數(shù)次的燈亮著。
(2)可從最簡單的情況考慮,把拉過某號的學(xué)生號碼寫出來尋找規(guī)律,如1號是第1個學(xué)生拉過,4是1,2,4號拉過,6是1,2,3,4號學(xué)生拉過,10是1,2,5,10號學(xué)生拉過,也就是第i號燈的燈繩被拉的次數(shù)就是i的所有約數(shù)的個數(shù)。由自然數(shù)因數(shù)分解的性質(zhì)知,只有當(dāng)i是平方數(shù)時,i的約數(shù)的個數(shù)才是奇數(shù),所以只有1,4,9號燈亮著。本題答案:1,4,9號燈亮著,共有3盞燈。選B。
總結(jié):此類拉燈問題比較簡單,假如把數(shù)字?jǐn)U大看起來會很麻煩,但思路還是相同的,在做題是要擅長歸納總結(jié),提煉出基本模型。
2、拉登難題——三集合容斥原理型
例2:有1000盞亮著的燈,各有一個拉線開關(guān)控制著。現(xiàn)按其順序編號為1、2、3、4、5······1000,然后將編號為2的倍數(shù)的燈線拉一下,再將編號為3的倍數(shù)的燈線拉一下,最后將編號為5的倍數(shù)的燈線拉一下,三次拉完后,亮著的電燈有多少盞?
A.468 B.499 C.501 D.532
【解析】
(1) 原來電燈亮著,拉一下,滅了;拉兩下,亮著;拉三下,滅了。因此,燈繩被拉動奇數(shù)次的燈滅了。此題先求滅著的燈的數(shù)量,再求亮著的燈。(2) 注意:此題目拉燈的方法不同前三個例題。編號為2的倍數(shù),3的倍數(shù),5的倍數(shù)的燈依次拉。可以據(jù)此,看做是三集合問題。(3) 數(shù)據(jù)計算:能被2整除的有1000/2=500個,能被3整除的有1000/3=333個,能被5整除的有1000/5=200個;既能被2又能被3整除的有1000/6=166個;同理,能被2,5整除的有100個,能被3,5整除的有66個,能同時被2、3、5整除的有33個。拉奇數(shù)次500+333+200-2(166+100+66)+4*33=501個,最開始為亮,奇數(shù)次為滅,則亮燈=1000-501=499個,選擇B。
拉燈問題,題目本身看起來操作繁瑣,但是其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理不難,熟練掌握此類型題目的解決思路,熟能生巧。
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