數(shù)量關(guān)系之?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算模塊一直是行測(cè)考試中的難點(diǎn)所在，諸多考生談之色變。實(shí)際上，多數(shù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算題目，幾乎均有不少于兩種以上的解題思路或方法，我們稱這類試題為“一題多解”題。其目的重在考查考生對(duì)知識(shí)點(diǎn)掌握的熟練程度，同時(shí)兼顧不同解題習(xí)慣的考生。
一題的多種解法中，有的思路抽象但求解過程簡(jiǎn)潔，有的思路簡(jiǎn)單但計(jì)算量較大，有的則中規(guī)中矩;多數(shù)方法之間存在相關(guān)性，源自對(duì)知識(shí)點(diǎn)不同側(cè)面的理解與運(yùn)用;建議考生備考時(shí)，熟記基本概念與公式，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化數(shù)量之間的關(guān)系，盡可能多地將同一知識(shí)點(diǎn)的不同解題思路與方法進(jìn)行分析與比較，以便在考場(chǎng)的緊張狀態(tài)中迅速做出合理的判斷。
一、概率問題的基礎(chǔ)知識(shí)
概率問題常用公式及思路有：1.單獨(dú)概率：滿足條件的情況數(shù)÷總的情況數(shù);2.總體概率：A的概率=1-非A的概率;3.分類概率：滿足條件的各種情況概率之和;4.分步概率：滿足條件的每個(gè)步驟概率之積;5.二項(xiàng)分布：Cnm×Pn×(1-P)m-n;6.抽象推理：即對(duì)題目要求的結(jié)果進(jìn)行分析及轉(zhuǎn)換，利用抽象思維求解。這些公式與思路之間有時(shí)可相互轉(zhuǎn)換，也就是說同一道概率問題可以采用不同的解法解答。
二、真題舉例
真題一：2015山西省考
65. 在一次產(chǎn)品質(zhì)量抽查中，某批次產(chǎn)品被抽出10件樣品進(jìn)行檢驗(yàn)，其中恰有兩件不合格品，如果對(duì)這10件樣品逐件進(jìn)行檢驗(yàn)，則這兩件不合格品恰好在第五次被全部檢出的概率是( )。
A. 4/45 B. 2/45 C. 1/45 D. 1/90
【解析】概率問題�！扒『迷诘谖宕伪蝗繖z出”意思是前四次有一個(gè)被檢出，第五次恰好檢出第二個(gè);本題有多種解法，逐一列舉如下：
解法一：?jiǎn)为?dú)概率。10個(gè)樣品中隨意挑取5的情況數(shù)是P510，前四次有一個(gè)被檢出，第五次恰好檢出第二個(gè)的情況數(shù)為C12×C38×P44×C11;由單獨(dú)概率公式可得，所求為C12×C38×P44×C11P510=445。故選A。
解法二：分類概率。前四次有一個(gè)被檢出，可分為以下幾種情況：(1)第一次被檢出，概率為210×89×78×67×16=145，(2)第二次被檢出，概率為810×29×78×67×16=145，(3)第三次被檢出，概率為810×79×28×67×16=145，(4)第四次被檢出，概率為810×79×68×27×16=145;因此，所求為4×145=445。故選A。
解法三：抽象推理。借助單獨(dú)概率公式，利用插空法，對(duì)試題中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化;“前四次有一個(gè)被檢出”可理解為“前四次中選取一個(gè)空位放置其中不合格的那一個(gè)”，即C14，10個(gè)空位中選取兩個(gè)空位放置不合格的兩個(gè)，即C210;因此，所求為C14C210=445。故選A。
分析以上三種解法，可以看出：第二種解法最容易理解，但計(jì)算量最大;第三種解法最簡(jiǎn)單，但相對(duì)抽象，需要對(duì)題干的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行正確的分析與轉(zhuǎn)換。因此，建議考生著重掌握第一種解法，即單獨(dú)概率的解題思路與方法。
真題二：2015河南農(nóng)信社
62. 假如盒子里有10個(gè)蘋果，其中一個(gè)是壞的，現(xiàn)在有10個(gè)人分別從盒子里一次取出一個(gè)蘋果(取出的不再放回)，那么第6人正好取到壞蘋果的概率為( )。
A. 1/10 B. 9/10 C. 1/9 D. 都不正確
【解析】概率問題�？捎脙煞N解法求解：
解法一：?jiǎn)为?dú)概率�！暗�6人正好取到壞蘋果”意思是：前5個(gè)人取的是好的，即從9個(gè)中取了5個(gè)，有P59，總的情況數(shù)為P610;因此，所求為P59P610=110。故選A。
解法二：抽象推理。10個(gè)蘋果，其中一個(gè)是壞的，那么每個(gè)人都有可能拿到壞蘋果，即每個(gè)人拿到壞蘋果的概率是相等的，均為110;因此，第6人正好取到壞蘋果的概率為110。故選A。
(二)賦值問題
一、賦值問題的基礎(chǔ)知識(shí)
賦值問題，即利用賦值法求解的題，即將題目的某些量賦以特定的數(shù)值，通過明確的數(shù)值來解題，會(huì)使題目更加直觀，易于解答。常見于工程問題、路程問題、濃度問題和利潤(rùn)問題中。使用原則如下：
1. 賦值為比例的數(shù)據(jù)：若題中僅有比列關(guān)系，無具體單位(或有，但單位是唯一的)，可直接賦值為比例數(shù)據(jù);如：男女人數(shù)比為3:2，可賦值男生有3人，女生有2人，共有5人;
2. 賦值為最小公倍數(shù)：常見于工程問題中;如：一項(xiàng)工作，甲乙獨(dú)做分別需要3天和2天，可賦值總量為6，則甲效率為2，乙效率為3，合作效率為5。
二、真題舉例
真題一：2015山東省考
61. 商場(chǎng)里某商品成本上漲了20%，售價(jià)只上漲了10%，毛利率(利潤(rùn)/進(jìn)貨價(jià))比以前的下降了10個(gè)百分點(diǎn)。問原來的毛利率是多少?( )
A. 10% B. 20% C. 30% D. 40%
【解析】利潤(rùn)問題�？捎脙煞N方法求解：
解法一：列方程求解。假設(shè)原來的成本為x元，售價(jià)為y元，那么，新的成本為1.2x，新的售價(jià)為1.1y，則有：yx-1-10%=1.1y1.2x-1，解得yx=1.2;因此，原來的毛利率是1.2-1=20%。故選B。
解法二：賦值法求解。假設(shè)原來的成本為1，售價(jià)為x，則有：1.1x1.2-1=x1-1-10%，解得x=1.2;因此，原來的毛利率是1.21-1=20%。故選B。
真題二：2015陜西省考
121.現(xiàn)有若干支鉛筆，若只平均分給一年級(jí)一班的女生，每名女生可以得到15支，若只平均分給該班的男生，每名男生可以得到10支�，F(xiàn)將這些鉛筆平均分給該班的所有同學(xué)，則每名同學(xué)可以得到( )支鉛筆。
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
E. 8 F. 9 G. 10 H. 11
【解析】求平均數(shù)�？捎脙煞N方法求解：
解法一：列方程求解。設(shè)男生有x人，女生有y人，則有：10x=15y，解得y=23x;因此，若均分給該班所有同學(xué)，則每名同學(xué)可以得到10x÷(x+y)=10x÷(x+23x)=6支鉛筆。故選C。
解法二：賦值法求解。設(shè)鉛筆共有30支，則女生有30÷15=2人，男生有30÷10=3人;因此，若均分給該班所有同學(xué)，則每名同學(xué)可以得到30÷(2+3)=6支鉛筆。故選C。
真題三：2014青海省考
62. 某項(xiàng)工程若由甲、乙兩隊(duì)合作需105天完成，甲、丙兩隊(duì)合作需60天，丙、丁兩隊(duì)合作需70天，甲、丁兩隊(duì)合作需84天。問這四個(gè)工程隊(duì)的工作效率由低到高的順序是什么?( )
A. 乙丁甲丙 B. 乙甲丙丁 C. 丁乙丙甲 D. 乙丁丙甲
【解析】工程問題�？捎脙煞N方法求解：
解法一：工程問題的“比例法”。甲乙合作105天，甲丙合作60天，說明乙<丙，ABCD均符合;甲乙合作105天，甲丁合作84天，說明乙<丁，排除C;甲丙合作60天，甲丁合作84天，說明丁<丙，排除B;丙丁合作70天，甲丁合作84天，說明甲<丙，排除D。故選A。
解法二：賦值法求解。設(shè)工作總量為時(shí)間的最小公倍數(shù)420，則甲乙效率和為4，甲丙效率和為7，丙丁效率和為6，甲丁效率和為5，即各自效率分別為甲3，乙1，丙4，丁2。因此，四隊(duì)的效率由低到高的順序是乙丁甲丙。故選A。
(三)方程問題
一、方程問題的基礎(chǔ)知識(shí)
一些基本的方程問題，既可以設(shè)未知數(shù)求解，也可以轉(zhuǎn)化為雞兔同籠問題、盈虧問題等來求解。涉及到的相關(guān)公式如下：
1. 雞兔同籠：
雞數(shù)=(兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù))÷(兔腳數(shù)-雞腳數(shù));
兔數(shù)=(總腳數(shù)-雞腳數(shù)×總頭數(shù))÷(兔腳數(shù)-雞腳數(shù));
2. 盈虧問題：
(盈+虧)÷兩次分配量的差=參加分配的對(duì)象數(shù);
二、真題舉例
真題一：2015天津真題
66. 某水果超市購(gòu)進(jìn)蘋果和葡萄共計(jì)100千克，總值若干元，定價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是蘋果降價(jià)20%，葡萄提價(jià)20%，這樣蘋果和葡萄每千克價(jià)格均為9.6元，總值比原來減少140元。計(jì)算一下，該超市購(gòu)進(jìn)蘋果有多少千克?( )
A. 65 B. 70 C. 75 D. 80
【解析】本題設(shè)未知數(shù)求解比較麻煩，可以借助雞兔同籠公式求解。由題意知，蘋果原價(jià)9.61-20%=12元，每千克降價(jià)12-9.6=2.4元;葡萄原價(jià)9.61+20%=8元，每千克提價(jià)9.6-8=1.6元;假設(shè)100千克都是葡萄，則共提價(jià)160元，與實(shí)際相差160+140=300元，每有1千克葡萄轉(zhuǎn)化為蘋果就相差2.4+1.6=4元，可得蘋果有300÷4=75千克。故選C。
真題二：2012北京真題
72. 某服裝店進(jìn)了襯衫和背心總共24件，總進(jìn)價(jià)為400元。已知襯衫和背心每件的進(jìn)價(jià)分別為90元和 10元，問襯衫總進(jìn)價(jià)比背心總進(jìn)價(jià)( )。
A. 低40元 B. 高40元
C. 低120元 D. 高120元
【解析】本題設(shè)未知數(shù)求解比較麻煩，可以借助雞兔同籠公式求解。假設(shè)都進(jìn)的背心，則需要花240元，比現(xiàn)在要少花160元;襯衫和背心差價(jià)為80元，所以襯衫進(jìn)了160÷80=2件。因此，襯衫總進(jìn)價(jià)比背心總進(jìn)價(jià)低10×22-90×2=40元。故選A。
真題三：2013安徽省考
57. 出租車隊(duì)去機(jī)場(chǎng)接某會(huì)議的參會(huì)者，如果每車坐3名參會(huì)者，則需另外安排一輛大巴送走余下的50人;如每車坐4名參會(huì)者，則最后正好多出3輛空車。問該車隊(duì)有多少輛出租車?( )
A. 50 B. 55 C. 60 D. 62
【解析】本題設(shè)未知數(shù)求解比較麻煩，可以借助盈虧公式求解。根據(jù)盈虧問題公式可知，(盈+虧)÷(兩次每車分配數(shù)的差)=車數(shù)。所以有出租車(50+3×4)÷(4-3)=62輛。故選D。
真題四：2012浙江省考
46. 端午節(jié)大家一起包粽子，每個(gè)粽子需要一張粽葉，如果每個(gè)粽子包80克米則多出10張粽葉，如果每個(gè)粽子包60克米則少10張粽葉。問有多少?gòu)堲杖~?( )
A. 60 B. 70 C. 80 D. 90
【解析】本題設(shè)未知數(shù)求解比較麻煩，可以借助盈虧公式求解。“每個(gè)粽子包80克米則多出10張粽葉”相當(dāng)于少800克米，“每個(gè)粽子包60克米則少10張粽葉”相當(dāng)于多600克米，由盈虧問題公式得，共有粽葉(800+600)÷(80-60)=70張。故選B。
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