一、最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的概念與性質(zhì)
公約數(shù)：幾個(gè)自然數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的一個(gè)稱為這幾個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)。
公倍數(shù)：幾個(gè)自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。公倍數(shù)中最小的一個(gè)大于零的公倍數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。
一個(gè)數(shù)的最大約數(shù)是其本身，最小約數(shù)是1。若兩個(gè)數(shù)有共同的約數(shù)，則這個(gè)約數(shù)稱為他它們的公約數(shù)，即“公用的約數(shù)”。一般來(lái)說(shuō)，兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)不止一個(gè)，但是有限的，我們經(jīng)常討論最大的一個(gè)公約數(shù)，稱為這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。
與公約數(shù)類似，兩個(gè)數(shù)共同的倍數(shù)，稱為公倍數(shù)。且這個(gè)公倍數(shù)不止一個(gè)，由于倍數(shù)可以無(wú)限大，所以我們把其中最小的一個(gè)公倍數(shù)，稱為這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。
二、最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的解題方法
(1)質(zhì)因數(shù)分解法
質(zhì)因數(shù)分解法：把每個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，再把各數(shù)中的全部公有質(zhì)因數(shù)提取出來(lái)連乘，所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。
【例】求24和60的最大公約數(shù)，先分解質(zhì)因數(shù)，得24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24與60的全部公有的質(zhì)因數(shù)是2、2、3，它們的積是2×2×3=12，所以，(24、60)=12。
把幾個(gè)數(shù)先分別分解質(zhì)因數(shù)，再把各數(shù)中的全部公有的質(zhì)因數(shù)和獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)提取出來(lái)連乘，所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。
【例】求6和15的最小公倍數(shù)。先分解質(zhì)因數(shù)，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的質(zhì)因數(shù)是3，6獨(dú)有質(zhì)因數(shù)是2，15獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)是5，2×3×5=30，30里面包含6的全部質(zhì)因數(shù)2和3，還包含了15的全部質(zhì)因數(shù)3和5，且30是6和15的公倍數(shù)中最小的一個(gè)，所以[6，15]=30。
(2)短除法
短除法：短除法求最大公約數(shù)，先用這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除，一直除到所有的商互質(zhì)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來(lái)，所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。
短除法求最小公倍數(shù)，先用這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)去除每個(gè)數(shù)，再用部分?jǐn)?shù)的公約數(shù)去除，并把不能整除的數(shù)移下來(lái)，一直除到所有的商中每?jī)蓚�(gè)數(shù)都是互質(zhì)的為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘起來(lái)，所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，例如，求12、15、18的最小公倍數(shù)。
短除法的本質(zhì)就是質(zhì)因數(shù)分解法，只是將質(zhì)因數(shù)分解用短除符號(hào)來(lái)進(jìn)行。
短除符號(hào)就是除號(hào)倒過(guò)來(lái)。短除就是在除法中寫除數(shù)的地方寫兩個(gè)數(shù)共有的質(zhì)因數(shù)，然后落下兩個(gè)數(shù)被公有質(zhì)因數(shù)整除的商，之后再除，以此類推，直到結(jié)果互質(zhì)為止(兩個(gè)數(shù)互質(zhì))。
而在用短除計(jì)算多個(gè)數(shù)時(shí)，對(duì)其中任意兩個(gè)數(shù)存在的因數(shù)都要算出，其它沒有這個(gè)因數(shù)的數(shù)則原樣落下。直到剩下每?jī)蓚�(gè)都是互質(zhì)關(guān)系。
求最大公約數(shù)便乘一邊，求最小公倍數(shù)便乘一圈。
三、例題精講
(1)求最大公約數(shù)
【例】有三根鐵絲，一根長(zhǎng)54米，一根長(zhǎng)72米，一根長(zhǎng)36米，要把它們截成同樣長(zhǎng)的小段，不許剩余，每段最長(zhǎng)是多少米？
A.8 B.12 C.18 D.24
【解析】C。要截成同樣長(zhǎng)的小段，則截的長(zhǎng)度應(yīng)為54、72、36的公約數(shù)，最長(zhǎng)的長(zhǎng)度應(yīng)為最大公約數(shù)。利用短除法，可以得知其最大公約數(shù)是18。
(2)求最小公倍數(shù)
【例】甲、乙、丙、丁四個(gè)人去圖書館借書，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他們四個(gè)人在圖書館相遇，問下一次四個(gè)人在圖書館相遇是幾月幾號(hào)？
A.10月18日 B.10月14日
C.11月18日 D.11月14日
【解析】D。每隔5、11、17、19天去一次，即每(5+1)、(11+1)、(17+1)、(29+1)天去一次，再次相遇經(jīng)過(guò)的天數(shù)為6、12、18、30的最小公倍數(shù)。利用短除法或者質(zhì)因數(shù)分解法，可知最小公倍數(shù)為180，所以180天后四人再次相遇，這一天為11月14日。故正確答案為D項(xiàng)。
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