一、要衡量“若干個(gè)數(shù)”的大小，常用的辦法就是求它們的平均值。
求平均值有兩種方法。下面，我們通過一個(gè)例子來說明。
【例1】一學(xué)期中進(jìn)行了五次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，小明的得分是95，87，94，100，98.那么他的平均成績(jī)是多少?
【解析】
方法1：把所有分?jǐn)?shù)加起來，除以次數(shù)，即
(95+87+94+100+98)÷5=94.8.
方法2 ：先設(shè)一個(gè)基數(shù)，通常設(shè)其中最小的數(shù)，例如本題設(shè)87為基數(shù)，求其他數(shù)與87的差，再求這些差的平均值，最后加上基數(shù)，即
[(95-87)+(87-87)+(94-87)+(100-87)+(98-87)]÷5+87=(8+0+7+13+11)÷5+87=7.8+87=94.8.
二、對(duì)若干個(gè)數(shù)求平均數(shù)，概括成以下兩種方法.
方法1：各個(gè)數(shù)的總和÷數(shù)的個(gè)數(shù)
方法2：基數(shù)+每一數(shù)與基數(shù)的差求和÷數(shù)的個(gè)數(shù).
方法2的好處是使計(jì)算的數(shù)值減小，減少計(jì)算量，特別便于心算.當(dāng)然，也可以設(shè)其他的數(shù)為基數(shù).進(jìn)入中學(xué)后，學(xué)了負(fù)數(shù)，我們還可以設(shè)中間的那個(gè)數(shù)作為基數(shù).方法2啟示我們，求平均數(shù)就是把數(shù)之間的“差”扯平.
三、簡(jiǎn)單問題
【例2】小明4次語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)是89分，第5次測(cè)驗(yàn)得了97分，5次測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)是多少?
【解析】按照例1中的兩種思路，有兩種計(jì)算方法：先算出5次成績(jī)的總和，再求平均成績(jī)，就有(89×4+97)÷5=90.6(分)。從算每一次“差”的平均入手，就有89+(97-89)÷5=90.6(分).很明顯，第二種方法計(jì)算簡(jiǎn)易.
【例3】小強(qiáng)4次語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)是87分，5次語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)是88.4分，問第5次測(cè)驗(yàn)他得了多少分?
【解析】?jī)煞N思路，兩種計(jì)算方法：
從總分?jǐn)?shù)(總成績(jī))來考慮.
第5次成績(jī)=5次總成績(jī)-4次總成績(jī)=88.4×5-87×4=94(分).
從“差的平均”來考慮，平均成績(jī)要提高88.4-87.
因此，第5次得分應(yīng)是87+(88.4-87)×5=94(分).
【例4】小明前幾次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)是84分，這一次要考100分，才能把平均成績(jī)提高到86分，問這一次是第幾次測(cè)驗(yàn)?
【解析】平均每次要提高(86-84)分，這一次比原來的平均成績(jī)多了(100-84)分，平均分?jǐn)傇诿恳淮紊�，可以分�(jǐn)偠嗌俅文?(100-84)÷(86-84)=8(次).因此這一次測(cè)驗(yàn)是第8次.
【例5】 甲、乙、丙三人，平均體重63千克.甲與乙的平均體重比丙的體重多3千克，甲比丙重2千克.求乙的體重.
【解析】甲與乙的平均體重比丙的體重多3千克，也就是甲與乙的體重之和比兩個(gè)丙的體重多3×2=6(千克).已知甲比丙重2千克，就得出乙比丙多3×2-2=4(千克).
從方法2知道丙的體重+差的平均=三人的平均體重.因此，丙的體重=63-(3×2)÷3=61(千克).乙的體重=61+4=65(千克).
三、部分平均與全體平均
【例6】某次考試，21位男同學(xué)的平均成績(jī)是82分，19位女同學(xué)的平均成績(jī)是87分，全體同學(xué)的平均成績(jī)是多少?
【解析】有兩種求法：
方法1：男同學(xué)的總分?jǐn)?shù) 82×21=1722，女同學(xué)的總分?jǐn)?shù) 87×19=1653，全體同學(xué)的總分?jǐn)?shù) 1722+1653=3375，全體同學(xué)的人數(shù) 21+19=40，全體同學(xué)的平均成績(jī)3375÷40=84.375.
方法2：以男同學(xué)的平均成績(jī)82分作為計(jì)算的基數(shù)，女同學(xué)每人平均多(87-82)=5(分)，19人多了5×19=95(分)，現(xiàn)在平均分?jǐn)偨o全體40人.因此，全體同學(xué)的平均成績(jī)是82+(87-82)×19÷40=82+95÷40=84.375(分)。
注意：從部分的平均數(shù)，來求全體的平均數(shù)，不能簡(jiǎn)單地把部分平均數(shù)再進(jìn)行求平均，如例9，(82+87)÷2=83.5，它不是全體的平均成績(jī).這一基本概念，大家必須弄清楚.
【例7】 甲班52人，乙班48人.語(yǔ)文考試中，兩個(gè)班全體同學(xué)的平均成績(jī)是78分，乙班的平均成績(jī)要比甲班的平均成績(jī)高5分.兩個(gè)班的平均成績(jī)各是多少?
【解析】?jī)蓚�(gè)班的全體人數(shù)是52+48=100(人).他們的分?jǐn)?shù)總和是78×100=7800(分).以甲班同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)榛鶖?shù)，乙班每人平均多了5分，如果乙班的分?jǐn)?shù)總和少了5×48=240(分)，乙班的平均成績(jī)就與甲班的一樣，因此甲班的平均成績(jī)是(7800-240)÷100=75.6(分).乙班的平均成績(jī)是75.6+5=80.6(分).
四、從平均數(shù)求個(gè)別數(shù)
【例8】 A，B，C，D四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是38，A與B的平均數(shù)是42;B，C，D三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是36，那么B是多少?
【解析】A，B，C，D四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是(A+B+C+D)÷4=(A+B)÷4+(C+D)÷4=[(A+B)÷2+(C+D)+2]÷2.這說明A與B的平均數(shù)，C與D的平均數(shù)，兩者的再平均，就是四個(gè)數(shù)的平均數(shù).因此，C與D的平均數(shù)是38×2-42=34題目已給出B，C，D三個(gè)數(shù)的平均數(shù)36，B是34+(36-34)×3=40.
還有一個(gè)解法：四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是38，B，C，D三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是36，還是按照例3中的計(jì)算，A是36+(38-36)×4=44.己知A與B的平均數(shù)是42，因此B是42×2-44=40.
注意 知道若干個(gè)數(shù)的平均數(shù)，也就是知道了它們的和，已知A，B，C，D四個(gè)數(shù)的和，又已知其中三個(gè)數(shù)B，C，D的和，自然能求出(做一次減法)第四個(gè)數(shù)A.又已知A與B的和，就很容易求出B，這就是例15的實(shí)質(zhì).
【例9】某次考試，A，B，C，D，E五人的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：
A，B，C，D的平均分 75分.
A，C，D，E的平均分 70分.
A，D，E的平均分 60分.
B，D的平均分 65分.
求A得了多少分.
【解析】由A，C，D，E四人平均分和A，D，E三人平均分，按照例3的方法，就可求出C的得分：60+(70-60)×4=100(分).
由A，B，C，D四人平均分和B，D兩人平均分，按照例15，可以求出A與C平均分：75×2-65=85(分).
上面已算出C得100分，因此A得85×2-100=70(分).
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