遞推數(shù)列專指是從數(shù)列的某一項(xiàng)開始，后面的項(xiàng)都是通過它前邊的若干項(xiàng)進(jìn)行四則運(yùn)算得出的數(shù)列。前項(xiàng)在進(jìn)行四則運(yùn)算推出后項(xiàng)的時(shí)候，有時(shí)會(huì)需要進(jìn)行修正，這就引出了修正項(xiàng)的概念。例如2、3、7、22，這樣的一個(gè)遞推數(shù)列中，2*3+1=7,3*7+1=22，數(shù)列從7開始，此后的每一項(xiàng)都是由它前兩項(xiàng)相乘再加1得來，其中+1就是修正項(xiàng)。
變化形式一：常數(shù)數(shù)列(同樣數(shù)字構(gòu)成的數(shù)列，例如7、7、7、7、…)。
【例1】3、6、8、13、20、( )
A.31B.28C.42D.32
【解析】從括號(hào)前兩項(xiàng)入手判斷趨勢(shì)，20不到13的二倍，初步判定是加法的遞推，驗(yàn)證得出：3+6-1=8;6+8-1=13;8+13-1=20。因此()=13+20-1=32，答案選D。
【注】此題的修正項(xiàng)為-1、-1、-1、…就是一個(gè)常數(shù)數(shù)列。很容易知道下一項(xiàng)的修正項(xiàng)依舊是-1.
變化形式二：基礎(chǔ)數(shù)列(等差數(shù)列、等比數(shù)列、質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)列、周期數(shù)列等等)。
【例2】2、2、3、4、9、32、( )
A.129B.215C.257D.283
【解析】依舊從括號(hào)前兩項(xiàng)去判斷趨勢(shì)，32接近9的4倍即36，通過前項(xiàng)驗(yàn)證得出：2*2-1=3;2*3-2=4;3*4-3=9;4*9-4=32.其規(guī)律是：前兩項(xiàng)相乘減去一個(gè)1、2、3、4、…的等差數(shù)列得到后一項(xiàng)。故()=9*32-5=283.答案選D。
【注】基礎(chǔ)數(shù)列有很多種類，是修正項(xiàng)的一種主流形式，在此要提醒廣大考生注意的是合數(shù)(4、6、9、10、12…)和質(zhì)數(shù)(2、3、5、7、11、13…)以及非合數(shù)(由1和質(zhì)數(shù)數(shù)列構(gòu)成)和非質(zhì)數(shù)(由1和合數(shù)數(shù)列構(gòu)成)這四類基礎(chǔ)數(shù)列。
變化形式三：正負(fù)數(shù)列(正負(fù)號(hào)交替出現(xiàn)的數(shù)列)
【例3】3、7、16、107、( )
A.1707B.1704C.1086D.1072
【解析】判斷趨勢(shì)，107接近16和7的乘積，驗(yàn)證得出：3*7-5=16;7*16+5=107，可知這是一個(gè)乘積的遞推數(shù)列，而修正項(xiàng)是-5、+5、-5…的正負(fù)數(shù)列，故()=16*107-5=1707，答案為A。
【注】正負(fù)數(shù)列的典型特征就是正負(fù)號(hào)交替出現(xiàn)，如果排除正負(fù)號(hào)的因素，剩余的數(shù)字構(gòu)成的就是常數(shù)列、基礎(chǔ)數(shù)列以及前項(xiàng)相關(guān)數(shù)列，例如-1、+1、-1、+1…;+1、-2、+3、-4、+5…等。
變化形式四：前項(xiàng)相關(guān)數(shù)列(修正項(xiàng)為原數(shù)列的前項(xiàng)或前項(xiàng)的變型)
【例4】1、1、3、7、17、41、( )
A.89B.99C.109D.119
【解析】從17和41兩個(gè)數(shù)進(jìn)行趨勢(shì)推測(cè)，推定是2倍關(guān)系的遞推數(shù)列，驗(yàn)證：17*2+7=41;7*2+3=17;3*2+1=7; 1*2+1=3.修正項(xiàng)為+1、+1、+3、+7…為原數(shù)列，即第二項(xiàng)的2倍加上第一項(xiàng)得出第三項(xiàng)，以此類推，()=41*2+17=99，答案為B。
【注】當(dāng)發(fā)現(xiàn)修正項(xiàng)本身不成規(guī)律時(shí)，通常都是原數(shù)列演變而來的。此題就是一道典型題目，即修正項(xiàng)為原數(shù)列的前項(xiàng)。
【例5】2、3、13、175、( )
A.30625B.30651C.30759D.30952
【解析】175接近13的平方數(shù)169，初步推斷該數(shù)列為平方遞推數(shù)列，驗(yàn)證：132+6=175;32+4=13;22-1=3.得到修正項(xiàng)：-1、4、6…，乍看之下修正項(xiàng)沒有規(guī)律，但是與原數(shù)列的前項(xiàng)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，則會(huì)發(fā)現(xiàn)4=2*2;6=3*2.因此發(fā)現(xiàn)本題的規(guī)律為2*2+32=13; 3*2+132=175，故此()=13*2+1752=30651，答案選B。
【注】此題難度較大，因?yàn)槠湫拚?xiàng)是在原數(shù)列前項(xiàng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行了簡單的變型，讓人無法一眼看出規(guī)律，需要進(jìn)行大膽的猜測(cè)和驗(yàn)證。在此要提醒廣大考生，在做數(shù)字推理題目的時(shí)候，可以根據(jù)數(shù)列的趨勢(shì)進(jìn)行一定的猜測(cè)，也就是我們通常所說的“大膽假設(shè)、小心驗(yàn)證”。而這種猜測(cè)的正確率依賴于我們?nèi)粘Ｋ囵B(yǎng)的數(shù)字敏感性。即需要通過練習(xí)真題找到做題的感覺。
遞推數(shù)列并不像分?jǐn)?shù)數(shù)列、冪次數(shù)列等具有明顯的外在特征，因此在推測(cè)規(guī)律時(shí)具有一定的難度。通過以上五道例題，我們能夠把握住遞推數(shù)列的趨勢(shì)判斷方法，即通過括號(hào)前兩項(xiàng)或三項(xiàng)之間的關(guān)系來推斷，進(jìn)而在驗(yàn)證的同時(shí)，發(fā)現(xiàn)修正項(xiàng)的規(guī)律，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律使題目得解。
總而言之，在遞推數(shù)列中，修正項(xiàng)的變化形式一共有四種：常數(shù)數(shù)列、基礎(chǔ)數(shù)列、正負(fù)數(shù)列和前項(xiàng)相關(guān)數(shù)列。在此要重申以引起大家注意的是前項(xiàng)相關(guān)數(shù)列中的前項(xiàng)變型。大家一定要用心掌握，以在考試中得心應(yīng)手的面對(duì)此類題型。
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