利用旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)進(jìn)行幾何證明

利用旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)進(jìn)行幾何證明

　　正方形滾動(dòng)一周，就是滾動(dòng)四個(gè)90°角。如滾動(dòng)第一個(gè)90°時(shí)，A點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)是以點(diǎn)C為圓心、AC長(zhǎng)為半徑的-圓周長(zhǎng)，此時(shí)A點(diǎn)滾動(dòng)到了A1點(diǎn)(D點(diǎn)滾動(dòng)到了D1點(diǎn))；滾動(dòng)第二個(gè)90°時(shí)，其路線長(zhǎng)是以點(diǎn)D1為圓心、A1D1長(zhǎng)為半徑的-圓周長(zhǎng)，此時(shí)A1點(diǎn)滾動(dòng)到了A2點(diǎn)的位置；滾動(dòng)第三個(gè)90°時(shí)，由于以點(diǎn)A2為圓心，此時(shí)A2點(diǎn)的位置未變(B2點(diǎn)滾動(dòng)到了B3點(diǎn))；滾動(dòng)第四個(gè)90°時(shí)其長(zhǎng)是以點(diǎn)B3為圓心、B3C3長(zhǎng)為半徑的-圓周長(zhǎng)，此時(shí)A3點(diǎn)滾動(dòng)到了A4點(diǎn)的位置。∴A點(diǎn)滾動(dòng)一周經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為：-2π8-+-2π8+0+-2π8=(4-+8)π，當(dāng)正方形滾動(dòng)兩周時(shí)，正方形頂點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線的長(zhǎng)等于(8-+16)π。

　�。鬯季S延伸2］：如圖2，將邊長(zhǎng)為1的正方形OAPB沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2008次，點(diǎn)P依次落在P1、P2、P3、P4…P2008的位置，則P2008的橫坐標(biāo)為_______。

　�。劢馕觯荨哒�方形沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)4次正好翻轉(zhuǎn)了一周 ∴翻轉(zhuǎn)2008次就是翻轉(zhuǎn)了502周。從P點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線可以看出，在每個(gè)周期內(nèi)，P點(diǎn)相應(yīng)的沿著x軸的正方向移動(dòng)了4個(gè)單位長(zhǎng)度 ∴正方形OAPB沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2008次后P點(diǎn)向前移動(dòng)了4502=2008個(gè)單位長(zhǎng)度 ∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1+2008=2007。

　　例6.如圖6所示，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度數(shù)。

　�。劢馕觯菘上葘ⅰ鰽PC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°到△BEC的位置，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，此時(shí)△CPE是等腰直角三角形，∠CPE=45°，在△BPE中，由勾股定理逆定理可證出∠BPE=90°，由此可求出∠BPC的度數(shù)。

　�。廴�解］將△APC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°到△CBE的位置，連結(jié)PE ∴△APC≌△BEC ∴EC=PC=2，EB=PA=3，△CPE是等腰直角三角形 ∵PC=2，∠CPE=45°∴PE=2-，在△BPE中 ∵(2-)2+12=32，即PE2+PB2=BE2 ∴△BPE為Rt△，∠BPE=90°∴∠BPC=∠CPE+∠BPE=45°+90°=135°

　　［思維延伸1］如圖已知，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)M，且MA=3，MB=4，MC=5，求等邊三角形ABC的面積。

　�。劢馕觯萸蟮冗吶�角形的面積，關(guān)鍵是求出等邊三角形的邊長(zhǎng)。將△AMB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°到△CM1B的位置，連結(jié)MM1，過(guò)B點(diǎn)做BD⊥CM1交CM1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,可得△BMM1是等邊三角形 ∴MM1=BM1=BM=4，CM1=AM=3，∠BM1M=60°，在△MM1C中，可證M1M2+M1C2=MC2

　　∴∠MM1C=90°，故∠BM1C=150°∴∠BM1D=30°。在Rt△BM1D中，可求出BD=2，M1D=2-。在Rt△BDC中，BC2=22+(2-+3)2=25+12- ∴S△ABC=-BC2=-(25+12-)=9+-(單位面積)

　�。埸c(diǎn)評(píng)］本題的前半部分與例6類似，先求出∠BM1C=150°，再在Rt△BM1D中，分別求出BD、M1D的長(zhǎng)，最后在Rt△BDC中求出BC2的長(zhǎng)，從而求出△ABC的面積。

　　小結(jié)：通過(guò)以上例題可以看出：

　　1.利用旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)進(jìn)行幾何證明的關(guān)鍵在于如何正確的使用其基本性質(zhì)。

　　如：例1、例2、例3、例6都運(yùn)用了“旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等”的性質(zhì)；例4運(yùn)用了“對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等”以及“對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角”的性質(zhì)；例5則是把翻轉(zhuǎn)看成了局部的旋轉(zhuǎn)。

　　2.利用旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)進(jìn)行幾何證明時(shí)，一定要找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)方向。