2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競(jìng)賽講座(34)

　　2.一次不等式

　　解一元一次不等式主要依據(jù)下列不等式的性質(zhì)：

　　(1)不等式的兩邊加上(或減去)同一個(gè)實(shí)數(shù)，所得不等式與原不等式同向;

　　(2)不等式兩邊乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù)，所得不等式與原不等式同向;

　　(3)不等式兩邊乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，所得不等式與原不等式反向.

　　例4(上海1989年初二競(jìng)賽題)如果關(guān)于x的不等式(2a-b)x+a-5b>0的解為 ，那么關(guān)于x的不等式ax>b的解是多少?

　　分析由(2a-b)x+a-5b>0可得(2a-b)x>5b-a,注意到題目已給出的解得知僅當(dāng)2a-b<0時(shí)，有

　　.故，對(duì)不等式ax>b,當(dāng)a>0時(shí)，x> ,a<0,x> 例5(1973年加拿大中學(xué)生競(jìng)賽題)求滿足|x+3|-|x-1|=x+1的一切實(shí)數(shù)解.

　　分析 解絕對(duì)值方程的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，令x+3=0,x-1=0，分別得x=-3,x=1,-3,1將全部實(shí)數(shù)分成3段：x<-3或-3≤x<1或x≥1，然后在每一段上去絕對(duì)值符號(hào)解方程，例如，當(dāng)x<-3時(shí)，|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化為-x-3+x-1=x+1，∴x=-5，x=-5滿足x<-3，故是原方程的一個(gè)解，求出每一段上的解，將它們合并，便得到原方程的全部解，這種方法叫做“零點(diǎn)”分段法，x=-3，x=1叫做零點(diǎn).

　　例6(1978年上海競(jìng)賽題)解絕對(duì)值不等式|x-5|-|2x+3|<1.

　　解 令x-5=0,或2x=3=0,得x=5,或x= ,它們將實(shí)數(shù)分成三部分，如圖4-1(此處無(wú)圖).

　　原不等式的解由下面三個(gè)不等式組的解的全體組成：

　　(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) 由(Ⅰ)得x<-7;由(Ⅱ)得 .

　　例7(1978年廣東數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)不等式|x|+|y|<100的整數(shù)解有多少組(x≠y)?

　　解 |x|+|y|<100，∴0≤|x|≤99，0≤|y|≤99，故x、y分別可取-99到99之間的199個(gè)整數(shù)，且x≠y，現(xiàn)將所有可能的情況列有如下：(此處無(wú)表)

　　故滿足不等式|x|+|y|<100且x≠y的整數(shù)解組數(shù)為：

　　198+2(1+3+…+99)+2(100+102+…+196)=198+ =198+100×50+296×49=19702(組).

　　若有依次排列著的一列數(shù)，每后一個(gè)數(shù)與它前面一個(gè)數(shù)的差總等于一個(gè)常數(shù)，我們稱這一列數(shù)形成一個(gè)等差數(shù)列，依據(jù)這一概念我們來(lái)解答下面這個(gè)題目.

　　例8(1988年日本大學(xué)入學(xué)試題)設(shè)有滿足1

　　解由條件知其兩兩之和為六個(gè)數(shù)，且有關(guān)系式

　　1+a<1+b<1+c; a+b

　　1+b

　　根據(jù)1+ c和a+b的大小關(guān)系可分為兩種情況：

　　i)1+a<1+b<1+c

　　ii)1+a<1+b

　　在i)情況下，由等差數(shù)列性質(zhì)知

　　(b+c)-(a+c)=(a+c)-(a+b)

　　=(c+b)-(1+c)

　　設(shè)公差為k，即

　　b-a=c-b=a+b-c-1=k從而有b=a+k c=b+k=a+2k 代入a+b-c-1=k中，得

　　a+a+k-a-2k-1=k

　　于是a=2k+1 b=3k+1 c=4k+1

　　又因?yàn)榱鶄�(gè)數(shù)之和為201，所以

　　3(a+b+c+1)=201 a+b+c=66

　　即(2k+1)+(3k+1)+(4k+1)=66 k=7

　　∴a=15 b=22 c=29

　　類似地在ii)情況下可解得

　　a=10 b=19 c=37

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