2011年中招考試:《初中數(shù)學(xué)》競(jìng)賽講座(19)
競(jìng)賽講座19
-排列、組合、二項(xiàng)式定理
基礎(chǔ)知識(shí)
1.排列組合題的求解策略
(1)排除:對(duì)有限條件的問(wèn)題,先從總體考慮,再把不符合條件的所有情況排除,這是解決排列組合題的常用策略.
(2)分類(lèi)與分步
有些問(wèn)題的處理可分成若干類(lèi),用加法原理,要注意每?jī)深?lèi)的交集為空集,所有各類(lèi)的并集是全集;有些問(wèn)題的處理分成幾個(gè)步驟,把各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘,即得總的方法數(shù),這是乘法原理.
(3)對(duì)稱(chēng)思想:兩類(lèi)情形出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等,可用總數(shù)取半得每種情形的方法數(shù).
(4)插空:某些元素不能相鄰或某些元素在特殊位置時(shí)可采用插空法.即先安排好沒(méi)有限制條件的元素,然后將有限制條件的元素按要求插入到排好的元素之間.
(5)捆綁:把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個(gè)“大元素”,然后與其它“普通元素”全排列,然后再“松綁”,將這些特殊元素在這些位置上全排列.
(6)隔板模型:對(duì)于將不可辨的球裝入可辨的盒子中,求裝的方法數(shù),常用隔板模型.如將12個(gè)完全相同的球排成一列,在它們之間形成的11個(gè)縫隙中任意插入3塊隔板,把球分成4堆,分別裝入4個(gè)不同的盒子中的方法數(shù)應(yīng)為 ,這也就是方程 的正整數(shù)解的個(gè)數(shù).
2.圓排列
(1)由 的 個(gè)元素中,每次取出 個(gè)元素排在一個(gè)圓環(huán)上,叫做一個(gè)圓排列(或叫環(huán)狀排列).
(2)圓排列有三個(gè)特點(diǎn):(i)無(wú)頭無(wú)尾;(ii)按照同一方向轉(zhuǎn)換后仍是同一排列;(iii)兩個(gè)圓排列只有在元素不同或者元素雖然相同,但元素之間的順序不同,才是不同的圓排列.
(3)定理:在 的 個(gè)元素中,每次取出 個(gè)不同的元素進(jìn)行圓排列,圓排列數(shù)為 .
3.可重排列
允許元素重復(fù)出現(xiàn)的排列,叫做有重復(fù)的排列.
在 個(gè)不同的元素中,每次取出 個(gè)元素,元素可以重復(fù)出現(xiàn),按照一定的順序那么第一、第二、…、第 位是的選取元素的方法都是 種,所以從 個(gè)不同的元素中,每次取出 個(gè)元素的可重復(fù)的排列數(shù)為 .
4.不盡相異元素的全排列
如果 個(gè)元素中,有 個(gè)元素相同,又有 個(gè)元素相同,…,又有 個(gè)元素相同( ),這 個(gè)元素全部取的排列叫做不盡相異的 個(gè)元素的全排列,它的排列數(shù)是 5.可重組合
(1)從 個(gè)元素,每次取出 個(gè)元素,允許所取的元素重復(fù)出現(xiàn) 次的組合叫從 個(gè)元素取出 個(gè)有重復(fù)的組合.
(2)定理:從 個(gè)元素每次取出 個(gè)元素有重復(fù)的組合數(shù)為: .
6.二項(xiàng)式定理
(1)二項(xiàng)式定理 ( ).
(2)二項(xiàng)開(kāi)展式共有 項(xiàng).
(3) ( )叫做二項(xiàng)開(kāi)展式的通項(xiàng),這是開(kāi)展式的第 項(xiàng).
(4)二項(xiàng)開(kāi)展式中首末兩端等距離的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.
(5)如果二項(xiàng)式的冪指數(shù) 是偶數(shù),則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 最大;如果 是奇數(shù),則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 與 最大.
(6)二項(xiàng)式開(kāi)展式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和,即
7.數(shù)學(xué)競(jìng)賽中涉及二項(xiàng)式定理的題型及解決問(wèn)題的方法
二項(xiàng)式定理,由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜,多年來(lái)在高考中未能充分展示應(yīng)有的知識(shí)地位,而數(shù)學(xué)競(jìng)賽的命題者卻對(duì)其情有獨(dú)鐘.
(1)利用二項(xiàng)式定理判斷整除問(wèn)題:往往需要構(gòu)造對(duì)偶式;
(2)處理整除性問(wèn)題:構(gòu)造對(duì)偶式或利用與遞推式的結(jié)合;
(3)求證不等式:通過(guò)二項(xiàng)式展開(kāi),取展開(kāi)式中的若干項(xiàng)進(jìn)行放縮;
(4)綜合其他知識(shí)解決某些綜合問(wèn)題:有些較復(fù)雜的問(wèn)題看似與二項(xiàng)式定理無(wú)關(guān),其實(shí)通過(guò)觀察、分析題目的特征,聯(lián)想構(gòu)造合適的二項(xiàng)式模型,便可使問(wèn)題迅速解決.
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