2011年中招考試：《初中數(shù)學》競賽講座(2)

競賽講座02

　　-整數(shù)的整除性

　　1. 整數(shù)的整除性的有關(guān)概念、性質(zhì)

　　(1) 整除的定義：對于兩個整數(shù)a、d(d≠0)，若存在一個整數(shù)p，使得 成立，則稱d整除a，或a被d整除，記作d|a。

　　若d不能整除a，則記作d a，如2|6，4 6。

　　(2) 性質(zhì)

　　1) 若b|a，則b|(-a)，且對任意的非零整數(shù)m有bm|am

　　2) 若a|b，b|a，則|a|=|b|;

　　3) 若b|a，c|b，則c|a

　　4) 若b|ac，而(a，b)=1((a，b)=1表示a、b互質(zhì)，則b|c;

　　5) 若b|ac，而b為質(zhì)數(shù)，則b|a，或b|c;

　　6) 若c|a，c|b，則c|(ma+nb)，其中m、n為任意整數(shù)(這一性質(zhì)還可以推廣到更多項的和)

　　例1 (1987年北京初二數(shù)學競賽題)x，y，z均為整數(shù)，若11|(7x+2y-5z)，求證：11|(3x-7y+12z)。

　　證明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)

　　而 11|11(3x-2y+3z),

　　且 11|(7x+2y-5z),

　　∴ 11|4(3x-7y+12z)

　　又 (11,4)=1

　　∴ 11|(3x-7y+12z).

　　2.整除性問題的證明方法

　　(1) 利用數(shù)的整除性特征(見第二講)

　　例2(1980年加拿大競賽題)設(shè)72| 的值。

　　解72=8×9，且(8，9)=1，所以只需討論8、9都整除 的值。

　　若8| ，則8| ，由除法可得b=2。

　　若9| ，則9|(a+6+7+9+2)，得a=3。

　　(2)利用連續(xù)整數(shù)之積的性質(zhì)

　�、� 任意兩個連續(xù)整數(shù)之積必定是一個奇數(shù)與一個偶數(shù)之一積，因此一定可被2整除。

　�、� 任意三個連續(xù)整數(shù)之中至少有一個偶數(shù)且至少有一個是3的倍數(shù)，所以它們之積一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。

　　這個性質(zhì)可以推廣到任意個整數(shù)連續(xù)之積。

　　例3(1956年北京競賽題)證明： 對任何整數(shù)n都為整數(shù)，且用3除時余2。

　　證明 ∵ 為連續(xù)二整數(shù)的積,必可被2整除.

　　∴ 對任何整數(shù)n均為整數(shù),

　　∵ 為整數(shù),即原式為整數(shù).

　　又∵ ，

　　2n、2n+1、2n+2為三個連續(xù)整數(shù)，其積必是3的倍數(shù)，而2與3互質(zhì)，

　　∴ 是能被3整除的整數(shù).

　　故 被3除時余2.

　　例4 一整數(shù)a若不能被2和3整除，則a2+23必能被24整除.

　　證明 ∵a2+23=(a2-1)+24，只需證a2-1可以被24整除即可.

　　∵2 .∴a為奇數(shù).設(shè)a=2k+1(k為整數(shù)),

　　則a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).

　　∵k、k+1為二個連續(xù)整數(shù)，故k(k+1)必能被2整除，

　　∴8|4k(k+1)，即8|(a2-1).

　　又∵(a-1)，a，(a+1)為三個連續(xù)整數(shù)，其積必被3整除，即3|a(a-1)(a+1)=a(a2-1)，

　　∵3 a，∴3|(a2-1).3與8互質(zhì), ∴24|(a2-1),即a2+23能被24整除.

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