2005研招考試數(shù)學(xué)一部分試題答案

填空題：

1.y＝x^2/(2x+1)的斜漸近線
斜漸近線為y= 1/2x-1/4

2.微分方程xy'+2y＝xlnx符合y(1)=－1/9的特解為1/3x*lnx-1/9x

3.u(x,y,z)=1+x^2/6+y^2/12+z^2/18，n為單位向量1/根號下3(1,1,1)，求u對n的方向?qū)��?shù)。=1/3^0.5

4.求∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy，其中∑為z=根號下(x^2+y^2)與半球z=根號下(R^2-x^2-y^2)圍成的曲面，方向朝外。=pi*R^3(2-2^0.5)

5.A=(a1,a2,a3)，B=(a1+a2+a3,a1+2a2+3a3,a1+4a2+9a4)，已知|A|=1，求|B|=2

6.有1,2,3,4四個數(shù)，從中任取一個記為X，再從1至X的整數(shù)中，再任取一個記為Y，求P(Y=2)=13/48

選擇題：

1.  兩個不可導(dǎo)點(diǎn)  -1，1
2.  A
偶函數(shù)得導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，奇函數(shù)得導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)！
但反過來看，你想 F(x)=f(x)得積分+C，關(guān)鍵是這個參數(shù)C，怎么也不能產(chǎn)生個負(fù)號使F(x)變奇函數(shù)。所以選項C不對

計算題：（1）

1.將積分域分成兩塊。<=1，以及>=1
最終得到  1/8+1/4=3/8

大題（2）：
首先根據(jù)題意求出
f(3)=2;
f(0)=0
f '(3)=-2
f '(0)=2
f "(3)=0
然后使用兩次分步積分
最終得到  -(-14-2-4)=20

大題（4）
a=0;
正交變換：
1/(2^0.5) , 1,0
-1/(2^0.5),0,0
0,,,,,,,,,,0,1
通解：
k(1,-1,0) k為任意實(shí)數(shù)。

大題（5）
5.冪級數(shù)~~
收斂區(qū)間 （-1，1）
和函數(shù)：
=x^2/(1+x^2)+2xarctgx-ln(1+x^2)

此主題相關(guān)圖片如下：

因為AB=0，所以rank(A)+rank(B)<=3
因為A的第一行a,b,c不全為0，所以rank(A)>=1
又當(dāng)k=9時，rank(B)=1，
當(dāng)k不等于9時，rank(B)=2
下面分別討論兩種情況。
當(dāng)k=9時，由上面的不等式得到:rank(A)<=2
當(dāng)rank(A)=2時，有一個線性無關(guān)解。因為AB=0，知道B的任意一個非零列向量為Ax=0解空間的一組基。
所以此時的通解為k(1,2,3)，k為不等于0的實(shí)數(shù)。
當(dāng)rank(A)=1時，解空間為2維。知道B的一個列向量為一個基向量。
下面求出另外一個基向量·�。�！重點(diǎn)部分！
設(shè)基向量為(x,y,z)
有(x,y,z).(1,2,3)=0  
(x,y,z).(a,b,c)=0
又(1,2,3)與(a,b,c)線性無關(guān)
所以
(1,2,3)x
(a,b,c)y=0該方程組的解空間為1維。
````````z
當(dāng)b不等于2a時
最終解的基向量為{ (-3b+2c)/(b-2a),(3a-c)/(b-2a),1}
得到該種情況下的通解為k1(1,2,3)+k2 { (-3b+2c)/(b-2a),(3a-c)/(b-2a),1}，k1,k2為不全為0的實(shí)數(shù)
當(dāng)b等于2a時，由于(1,2,3)與(a,b,c)線性無關(guān),知道此時c不等于3a。
該種情況得到基向量為 (-2,1,0)
得到該種情況下的通解為k1(1,2,3)+k2 (-2,1,0)，k1,k2為不全為0的實(shí)數(shù)

當(dāng)k不等于9時，由上面的不等式得到:rank(A)<=1，即rank(A)=1，解空間為2維。知道B的一個極大線性無關(guān)組為一組基。
即通解為 k1(1,2,3)+k2(4,6,k)，k1,k2為不全為0的實(shí)數(shù)。